Родился 25 февраля 1921 г. в гор. Смоленске в еврейской семье. Имя при рождении - Рувим. Его отец Абель Менделевич Качанов был сапожником.

В 1938 г. Роман Качанов окончил изостудию смоленского Дворца пионеров, где обучался рисованию под руководством художника Федора Лабренца.
В 1939 г. был призван в ряды Рабоче-крестьянской Красной армии (РККА). Был курсантом летного училища в Красноярске (по другим данным - в Харькове). В 1940 г. получил тяжелые травмы при крушении учебного самолета.
В ходе Великой Отечественной войны 1941-1945 гг. служил инструктором парашютно-десантной службы. По информации его сына, озвученной в одном из телефильмов об отце, Роман Качанов принимал участие в специальных операциях советских диверсионных групп в тылу германских войск. В конце войны перевелся в киноотдел Научно-исследовательского института Военно-воздушных сил РККА (ныне Государственный летно-испытательный центр Минобороны РФ им. В. П. Чкалова), где познакомился с мультипликацией.
В 1946 г. (по другим данным - в 1947 г.) окончил курсы мультипликаторов при киностудии "Союзмультфильм" в Москве.
В 1947-1957 гг. работал на "Союзмультфильме" художником-аниматором, ассистентом режиссера, художником-постановщиком в коллективах под руководством режиссеров Валентины и Зинаиды Брумберг, Льва Атаманова, Ивана Иванова-Вано.
В 1958 г. перешел в отделение объемно-кукольной анимации "Союзмультфильма". В том же году дебютировал в режиссуре, поставив совместно с Анатолием Карановичем кукольную ленту "Старик и журавль".
В 1963 г. без отрыва от производства окончил курсы повышения квалификации творческих и руководящих кадров при Всесоюзном государственном институте кинематографии (ВГИК).
С конца 1950-х по 1980-е гг. Роман Качанов поставил без малого 30 анимационных фильмов - преимущественно кукольных, но также и рисованных, и созданных в технике перекладки. Был автором сценария многих своих работ, а также ряда лент коллег по "Союзмультфильму". В числе фильмов Качанова-режиссера - "Влюбленное облако" (1959, совместно с Анатолием Карановичем), "Машенька и медведь" (1960), "Новичок" (1961), "Обида" (1962), "Как котенку построили дом" (1963), "Портрет" (1965), "Потерялась внучка" (1966), "Варежка" (1967), "Соперники" (1968), "Мама" (1972), "Аврора" (1973), "Наследство волшебника Бахрама" (1975), "Последний лепесток" (1976), "Метаморфоза" (1978), "Тайна третьей планеты" (1981, по сценарию Кира Булычева), "Волшебное лекарство" (1982), "Два билета в Индию" (1985), "Чудеса техники" (1986). Наиболее широко среди отечественных и зарубежных зрителей известны мультфильмы, снятые Романом Качановым по произведениям писателя Эдуарда Успенского: "Крокодил Гена" (1969), "Чебурашка" (1971), "Шапокляк" (1974) и "Чебурашка идет в школу" (1983).
Кроме того, Роман Качанов был художественным руководителем первого выпуска детского мультипликационного киножурнала "Веселая карусель" (1969). В 1971-1974 гг. поставил четыре сюжета для сатирического киножурнала "Фитиль" .
Преподавал на Высших режиссерских курсах при киностудии "Мосфильм" (ныне Высшие курсы сценаристов и режиссеров им. Г. Н. Данелии).
Роман Качанов скончался 4 июля 1993 г. в Москве после продолжительной болезни, на 73-м году жизни. Похоронен на Троекуровском кладбище столицы.

Лауреат Государственной премии РСФСР (1982, за "Тайну третьей планеты"). Фильмы Романа Качанова удостоены множества наград на отечественных и зарубежных кинофестивалях. В частности, картина "Варежка" получила первую премию международного фестиваля анимационного кино в Анси (Франция, 1967), приз фестиваля фильмов для детей и юношества в Хихоне (Испания, 1968) и др.

Народный артист РСФСР (1981).

Был женат на Гаре Качановой (1929-1993), инженере-экономисте. Сын - Роман Романович Качанов (род. 1967; в 2024 г. признан в РФ иноагентом), кинорежиссер и сценарист. Автор картин "ДМБ" (2000), "Даун Хаус" (2001), "Гена Бетон" (2014) и др.