Родился 2 июля 1984 г. в г. Черкассы Украинской ССР (ныне Украина).

В 2005 г. окончил Национальный технический университет Украины "Киевский политехнический институт" (НТУУ КПИ; специалист компьютерных наук), в том же году - Международный университет финансов при НТУУ КПИ (специалист по финансам). Прошел программу для управленцев в бизнес-школе INSEAD ("Инсеад"; Франция).

В 2006-2008 гг. - аудитор ЗАО "КПМГ Аудит", украинского представительства международной аудиторской компании KPMG.
В 2008-2012 гг. работал экономистом аналитического отдела ООО "Драгон эсет менеджмент" (дочерняя компания управления активами украинской инвестиционной компании Dragon Capital).
В августе 2009 г. был назначен заместителем генерального директора по экономической безопасности Карловского машиностроительного завода (KMZ Industries; Полтавская обл.), с сентября 2009 г. по апрель 2012 г. - генеральный директор этого предприятия.
В 2012-2018 гг. - инвестиционный менеджер компании "Систем кэпитал менеджмент" (SCM; крупнейшая инвестиционная группа Украины, принадлежит олигарху Ринату Ахметову).
В 2018-2019 гг. являлся членом наблюдательного совета украинской транспортно-экспедиторской компании "Лемтранс".
В январе 2020 г. стал управляющим партнером инвестиционной группы Fortior Capital.
В июне - августе 2021 г. занимал должность советника министра инфраструктуры Украины Александра Кубракова.
С 11 августа 2021 г. Александр Камышин исполнял обязанности председателя правления АО "Украинская железная дорога" ("Укржелдорога"; укр. "Укрзализныця"), его временные полномочия несколько раз продлевались. 24 марта 2022 г. утвержден в этой должности на постоянной основе.
27 февраля 2023 г. Камышин заявил, что подает в отставку с поста председателя правления "Укржелдороги" и возглавит представительство компании в Европе. Однако 3 марта президент Украины Владимир Зеленский назначил его своим советником (вне штата).
21 марта 2023 г. Верховная рада утвердила Александра Камышина в должности министра по вопросам стратегических отраслей промышленности Украины (за - 312 депутатов) в правительстве Дениса Шмыгаля. Он сменил на этом посту отправленного 20 марта в отставку Павла Рябикина.
4 сентября 2024 г. депутаты Рады проголосовали за отставку Александра Камышина с должности главы Минстратегпрома Украины (за - 243).
С 8 сентября 2024 г. - советник президента Украины по стратегическим вопросам (вне штата).

Женат, имеет двоих сыновей.