Родился 14 октября 1934 г. в Ленинграде (ныне - Санкт-Петербург) в семье Михаила Эммануиловича Козакова (1897-1954) и Зои Александровны Никитиной (1902-1973). Его отец был писателем, членом Союза писателей СССР, мать работала редактором.

После начала Великой Отечественной войны Михаил Козаков был эвакуирован из Ленинграда в Молотовскую область (ныне - Пермский край). В 1944 г. вернулся в родной город.
В 1956 г. окончил Школу-студию им. Вл. И. Немировича-Данченко при Московском художественном академическом театре (МХАТ) СССР им. М. Горького (ныне - Школа-студия, институт, им. Вл. И. Немировича-Данченко при Московском художественном театре им. А. П. Чехова). Выпускник курса народного артиста СССР Павла Массальского.

В 1956-1959 гг. Михаил Козаков служил в Московском театре им. Владимира Маяковского. Был задействован в постановках: "Гамлет" по трагедии Уильяма Шекспира, "Аристократы" по пьесе Николая Погодина, "Человек в отставке" по произведению Анатолия Софронова, "Походный марш" по пьесе Александра Галича.
В 1959-1970 гг. был актером Московского театра "Современник". Исполнял роли в спектаклях: "Вечно живые" по пьесе Виктора Розова, "Двое на качелях" по произведению Уильяма Гибсона, "Сирано де Бержерак" по драме Эдмона Ростана, "Четвертый" по произведению Константина Симонова, "На дне" по пьесе Максима Горького, "Обыкновенная история" по роману Ивана Гончарова.
В 1971-1972 гг. - актер МХАТ СССР им. М. Горького. Играл в спектаклях "Валентин и Валентина" по пьесе Михаила Рощина и "Идеальный муж" по произведению Оскара Уайльда.
В 1972-1981 гг. Михаил Козаков служил в Московском драматическом театре на Малой Бронной. Исполнял роли в постановках: "Дон Жуан" по комедии Мольера, "Женитьба" по пьесе Николая Гоголя, "Месяц в деревне" по произведению Ивана Тургенева.
В 1991-1996 гг. проживал и работал в Израиле, получил гражданство этой страны. Выступал в Тель-Авивском государственном камерном театре (на иврите). Также ставил русскоязычные спектакли, выступал в них как актер.
В 1996 г. вернулся в Россию, руководил театральным коллективом "Русская антреприза Михаила Козакова" - ставил спектакли, участвовал в них в качестве актера.
Михаил Козаков также был широко известен в качестве киноактера и режиссера.
Дебютной для него стала роль Шарля Тибо в драме "Убийство на улице Данте" (1956, режиссер Михаил Ромм). Она же принесла молодому актеру первую известность. Среди других заметных киноработ: Педро Зурита в экранизации научно-фантастического романа Александра Беляева "Человек-амфибия" (1961, Геннадий Казанский и Владимир Чеботарев), Сильвио в экранизации произведения Александра Пушкина "Выстрел" (1967, Наум Трахтенберг), виконт де Розальба в экранизации водевиля Эжена Лабиша "Соломенная шляпка" (1974, Леонид Квинихидзе), Алексей Бессонов в многосерийном телефильме "Хождение по мукам" по одноименной трилогии Алексея Толстого (1974, Василий Ордынский), Фрэнсис Чесней в музыкальной комедии "Здравствуйте, я ваша тетя!" по мотивам пьесы Брэндона Томаса "Тетка Чарлея" (1975, Виктор Титов), Феликс Дзержинский в драме "Двадцатое декабря" (1981, Григорий Никулин) и ряде других фильмов. В общей сложности Михаил Козаков снялся в более чем 70 фильмах и сериалах (не считая фильмов-спектаклей).
Первой режиссерской работой Михаила Козакова стала трагикомедия "Безымянная звезда" по произведению Михаила Себастьяна (1978). Широкий зрительский успех получил его второй фильм - экранизация пьесы Леонида Зорина "Покровские ворота" о москвичах 1950-х гг. (1982). Среди других фильмов Михаила Козакова: "Если верить Лопотухину" (1983), "Визит дамы" (1989), "Ужин в четыре руки" (1999), "Очарование зла" (2006). В нескольких своих кинокартинах он также выступил в качестве актера.
Михаил Козаков принимал участие в озвучивании ряда анимационных фильмов. В их числе: "Мук-скороход" (1975, режиссер Натан Лернер), "38 попугаев" (1976-1991, Иван Уфимцев), "Дождь" (1978, Леонид Носырев), "А в этой сказке было так…" (1984, Лидия Сурикова), "Легенда о Сальери" (1986, Вадим Курчевский).
Также выступал с чтецкими программами (поэзия Александра Пушкина, Федора Тютчева, Анны Ахматовой и др.). В конце 1990-х гг. вместе с музыкантом Игорем Бутманом представил спектакль-концерт по стихам Иосифа Бродского "Дуэт для голоса и саксофона".
Михаил Козаков скончался 22 апреля 2011 г. в г. Рамат-Ган (Израиль) на 77-м году жизни. Похоронен в Москве на Введенском кладбище.

Народный артист РСФСР (1980).

Был награжден орденом Почета (2010), удостоен Государственной премии СССР в области литературы, искусства и архитектуры 1967 г. (за исполнение роли Петра Адуева в спектакле "Обыкновенная история") и Государственной премии РСФСР им. братьев Васильевых 1983 г. (за исполнение роли Феликса Дзержинского в фильме "Двадцатое декабря").

Лауреат Царскосельской художественной премии (1997), премии ТЭФИ в номинации "Режиссер телевизионного документального фильма/сериала" (2005, "Играем Шекспира").

Автор книг "Фрагменты" (1989) и "Актерская книга" (1996).

Был пять раз женат. Первая супруга - костюмер Грета Таар (были женаты в 1955-1966 гг.). От брака с ней - дочь Катерина (род. 1957, филолог) и сын Кирилл (род. 1962, актер). Вторая жена - художник-реставратор Медея Берелашвили (1968-1971). От брака с ней - дочь Манана (род. 1969, актриса). Третья супруга - переводчица Регина Быкова (1971-1988). Четвертой женой была актриса Анна Ямпольская (1988-2003). От брака с ней - сын Михаил (род. 1989) и дочь Зоя (род. 1995). Пятая супруга - историк Надежда Седова (2006-2010).