Родился 23 ноября 1927 г. в Москве. После начала Великой Отечественной войны вместе с матерью на протяжении нескольких месяцев находился в эвакуации в гор. Чкалове (ныне Оренбург). Отец воевал на фронте. В конце 1941 г. Анатолий Адоскин вернулся в Москву, работал сборщиком боеприпасов на Втором часовом заводе.

В 1942-1943 гг. посещал занятия в автотранспортном техникуме, но обучение не завершил.
В 1948 г. Анатолий Адоскин окончил драматическую студию при Театре им. Моссовета под руководством народного артиста СССР Юрия Завадского.

Работа в театре
В 1948-1961 гг., а также в 1968-2019 гг. Анатолий Адоскин являлся актером Театра им. Моссовета. В разное время исполнял роли в спектаклях: "Девочки" по пьесе Веры Пановой, "Виндзорские насмешницы", "Король Лир" и "Венецианский купец" по произведениям Уильяма Шекспира, "Глазами клоуна" по роману Генриха Бёлля, "Трудовой хлеб" по произведению Александра Островского, "Петербургские сновидения" по роману Федора Достоевского "Преступление и наказание" и "Братья Карамазовы" по его же одноименному произведению, "Вишневый сад" и "Чайка" по пьесам Антона Чехова, "Как важно быть серьезным" по комедии Оскара Уайльда, "Casting/Кастинг" по пьесе Юрия Еремина, "Странная история доктора Джекила и мистера Хайда" по мотивам повести Роберта Льюиса Стивенсона.
В 1961-1965 гг. Анатолий Адоскин работал в театре-студии "Современник" (ныне Московский театр "Современник"). Был задействован в постановках "Третье желание" по пьесе Вратислава Блажека, "Четвертый" по произведению Константина Симонова, "Без креста" по повести Владимира Тендрякова "Чудотворная" и др.
В 1965-1968 гг. был актером Московского театра им. Ленинского комсомола (ныне Московский государственный театр "Ленком Марка Захарова"). Исполнял роли в спектаклях "До свидания, мальчики" по произведению Бориса Балтера, "104 страницы про любовь" по пьесе Эдварда Радзинского, "Каждому свое" по драме Самуила Алешина и др.
Работа в кино
Анатолий Адоскин дебютировал в кино в 1955 г., исполнив роль Вали Жукова в приключенческом фильме "Два капитана" по роману Вениамина Каверина (режиссер Владимир Венгеров). Среди его наиболее известных киноработ: инженер Вадим Петрович Дементьев в комедии "Девчата" по повести Бориса Бедного (1961, Юрий Чулюкин), судебный следователь Николай Парфенович Нелюдов в экранизации романа Федора Достоевского "Братья Карамазовы" (1968, Иван Пырьев), Анатолий Сидоров в комедии "Семь стариков и одна девушка" (1968, Евгений Карелов). Последняя роль - писатель-сатирик Сергей Владимирович в телесериале "Кураж" (2014, Александр Стефанович). В общей сложности актер снялся в более чем 40 фильмах и сериалах.
Являлся членом Союза кинематографистов РФ.
Участие в телевизионных проектах, книга
Анатолий Адоскин выступал на телевидении с авторскими передачами о представителях русской культуры. Среди них: "Что мой Кюхля" (1975), "О, Дельвиг мой!.." (1980), "Василий Андреевич Жуковский" (1982), "Денис Васильевич Давыдов" (1984), "Наш доброжелатель Козьма Прутков" (1989), "Лира. Воспоминания о Царском селе" (2007).
Автор книги воспоминаний "Ах, если бы вы знали, если бы слышали..." (2015).

Звания, награды
Народный артист РФ (1996).

Анатолий Адоскин был награжден орденом Почета (2008).

Кончина
Анатолий Адоскин скончался 20 марта 2019 г. в Москве на 92-м году жизни. Похоронен на Донском кладбище.