Родился 20 февраля 1943 г. в Москве. Отец, Павел Сергеевич (1907-1964), и мать, Валентина Васильевна (1912-1998), работали в московской Группе изучения реактивного движения (ГИРД или МосГИРД), созданной конструктором Сергеем Королёвым и изобретателем Фридрихом Цандером. Впоследствии родители трудились в возглавляемом Королевым Опытном конструкторском бюро №1 (ОКБ-1; затем ЦКБЭМ, НПО "Энергия"; ныне РКК "Энергия").

Образование. ученая степень
В 1960-1962 гг. Александр Александров был курсантом радиотехнического факультета Серпуховского военного авиационно-технического училища специальных служб (СВАТУСС) ВВС СССР. В 1962 г. в связи с реорганизацией в СВАТУСС был переведен на аналогичный факультет Серпуховского высшего командно-инженерного училища, где проучился один год. В 1963 г. факультет расформировали, и Александрова перевели на действительную военную службу.
В 1969 г. окончил вечерний факультет Московского высшего технического училища (МВТУ; ныне Московский государственный технический университет, МГТУ) им. Н. Э. Баумана, получив специальность инженера-электромеханика.

Кандидат технических наук. В 1988 г. в Московском инженерно-физическом институте (ныне Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ") защитил диссертацию на тему "Автоматизированное управление ориентацией орбитальных комплексов "Салют" и "Мир" при регистрации высокоэнергичных захваченных магнитным полем частиц".

Служба в РВСН, работа в ОКБ-1/ЦКБЭМ/НПО "Энергия"
С ноября 1963 г. по август 1964 г. служил инструктором по радиоавтоматике в частях Ракетных войск стратегического назначения (РВСН) в Витебской области Белорусской ССР. Был демобилизован досрочно после смерти отца, в связи с потерей кормильца в семье.
В сентябре 1964 г. устроился техником в отдел систем управления космических аппаратов ОКБ-1, находящееся в подмосковном г. Калининграде (ныне Королев). После окончания МВТУ в ноябре 1969 г. был назначен инженером летно-испытательного отдела конструкторского бюро (в то время оно называлось Центральным конструкторским бюро экспериментального машиностроения, ЦКБЭМ).
С сентября 1971 г. - старший инженер, с декабря 1973 г. - ведущий инженер ЦКБЭМ, затем НПО "Энергия". С апреля 1975 г. был начальником группы. В 1977-1978 г. - ведущий инженер и сменный руководитель полета орбитальной станции "Салют-6".
Участвовал в летно-конструкторских испытаниях космического корабля Л-1 (другое название: "Зонд"), предназначенного для облета Луны, пилотируемого орбитального корабля "Союз", космической станции "Салют-1". Разрабатывал методики тренировок космонавтов.
В отряде космонавтов
8 декабря 1978 г. Александр Александров был зачислен в отряд космонавтов НПО "Энергия" и назначен на должность космонавта-испытателя.
Свой первый полет в космос он выполнил 27 июня - 23 ноября 1983 г. в качестве бортинженера корабля "Союз Т-9" и второй основной экспедиции на орбитальную станцию "Салют-7" на вместе с Владимиром Ляховым, который был командиром экипажа. Космонавты дважды выходили в открытый космос (1 и 3 ноября), выполнив уникальную на то время операцию по установке дополнительных солнечных батарей на корпусе станции.
С июня 1984 г. Александр Александров был инструктором-космонавтом-испытателем НПО "Энергия". Одновременно с 1986 г. являлся начальником отдела и заместителем руководителя летно-испытательной службы предприятия, а с июня 1987 г. - руководителем этой службы.
Во второй раз отправился в орбитальный полет 22 июля 1987 г. на корабле "Союз ТМ-3" вместе с участниками первой экспедиции посещения космической станции "Мир" Александром Викторенко и первым сирийским космонавтом Мухаммедом Ахмедом Фарисом. На тот момент на станции находились члены второй основной экспедиции - командир Юрий Романенко и бортинженер Александр Лавейкин (прибыли на "Мир" в феврале 1987 г.). Александров сменил заболевшего Лавейкина и остался работать на "Мире" вместе с Романенко. Возвратился на Землю 29 декабря 1987 г.
Александр Александров - космонавт I класса (1988). Общая продолжительность выполненных им двух орбитальных полетов составляет 309 суток 18 часов 2 минуты, суммарное время двух выходов в открытый космос - 5 часов 45 минут.
26 октября 1993 г. был отчислен из отряда космонавтов по выслуге лет.
Деятельность после ухода из отряда космонавтов
С 1993 г. Александр Александров руководил летно-испытательной службой НПО "Энергия", затем Ракетно-космической корпорации "Энергия" им. С. П. Королева. В октябре 2006 г. был освобожден от занимаемой должности по собственному желанию и назначен советником президента РКК "Энергия" (предприятие в то время возглавлял Николай Севастьянов). В настоящее время является советником гендиректора предприятия Игоря Озара.
Доцент кафедры "Системы автоматического управления" факультета ракетно-космической техники МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Общественно-политическая деятельность
Был членом КПСС (1970-1991), возглавлял совет молодых ученых при ЦК ВЛКСМ (1970-1974).
17 декабря 1995 г. Александр Александров баллотировался в Государственную думу РФ II созыва в качестве независимого кандидата по одномандатному избирательному округу №108 (Мытищинский), набрал 10,33% голосов избирателей и занял третье место. Победу одержал Сергей Юшенков ("Демократический выбор России") с 19,01% голосов.
Являлся секретарем секции Федерации космонавтики СССР. Затем был вице-президентом Федерации космонавтики России (ФКР). 28 октября 2021 г. Александр Александров был избран президентом ФКР (сменил на этом посту Владимира Ковалёнка).

Награды, почетные звания
Дважды удостоен звания Героя Советского Союза с вручением двух орденов Ленина (1983, 1987). Награжден медалью "За заслуги в освоении космоса" (2011).
Лауреат Государственной премии РФ 2002 г. в области науки и техники ("за разработку и внедрение на орбитальном комплексе "Мир" и российском сегменте Международной космической станции методологии и прогрессивных технологий реализации научно-исследовательских программ").
Герой Сирийской Арабской Республики (1987), награжден сирийским орденом Дружбы (1987).
Летчик-космонавт СССР (1983).
Почетный гражданин г. Гагарина (Смоленская обл., 1986), а также Джезказгана, Аркалыка (Казахстан) и др. городов.

Личные сведения
Соавтор книг "Сборочно-монтажные и ремонтно-восстановительные работы в космическом пространстве (1990), "РКК "Энергия" им. С. П. Королева" (1996).
В Москве на Аллее космонавтов открыт бронзовый бюст космонавта (2016).