Родился 30 сентября 1977 г. в Москве в семье народного артиста России, члена труппы Малого театра Владимира Дубровского и театроведа Ирины Кмит.

В 1998 г. окончил Высшее театральное училище (институт) им. М. С. Щепкина (мастерская Николая Верещенко) с красным дипломом.

После окончания училища был принят в труппу Московского театра юного зрителя (МТЮЗ), где прослужил до 2013 г., играл роли современного и классического репертуара. Дважды спектакли МТЮЗа с его участием становились лауреатом национальной премии "Золотая маска" в номинации "Лучший спектакль" ("Дама с собачкой" и "Скрипка Ротшильда", режиссер Кама Гинкас).
Одновременно с работой в МТЮЗе Алексей Дубровский сотрудничал в качестве актера с ведущими столичными коллективами, среди которых Театр на Таганке, Центр драматургии и режиссуры А. Казанцева и М. Рощина, Центр им. Вс. Мейерхольда, "Другой театр", проект "Открытая сцена".
В 2003-2006 гг. был педагогом кафедры мастерства актера Всероссийского государственного университета кинематографии им. С. А. Герасимова (курс Игоря Ясуловича).
С 2007 г. занимается режиссурой, поставил спектакли "Повесть о том, как один мужик двух генералов прокормил" по сказке Михаила Салтыкова-Щедрина и "Волк и семеро козлят" на стихи Юрия Энтина в МТЮЗе, спектакли "Повесть о капитане Копейкине. Ранняя редакция" по произведению Николая Гоголя и "Папка" по пьесе Семена Кирова в Центре драматургии и режиссуры и др.
С 2009 г. работает в ВТУ им. М. С. Щепкина. Занимал должности доцента кафедры мастерства актера, художественного руководителя курса, заведующего кафедрой мастерства актера.
С 2013 г. Алексей Дубровский состоит в труппе Государственного академического Малого театра России. Сыграл около пятнадцати ролей, а также поставил спектакли "Метель" по повести Александра Пушкина, "Физики" по пьесе Фридриха Дюрренматта, "Мертвые души" по поэме Николая Гоголя, "Женитьба Бальзаминова" по пьесе Александра Островского и "Собачье сердце" по повести Михаила Булгакова. С августа 2022 г. был заместителем по творческим вопросам художественного руководителя Малого театра Юрия Соломина (1935-2024). 29 января 2024 г. министр культуры РФ Ольга Любимова сообщила о назначении Алексея Дубровского главным режиссером Малого театра России.
С 2020 г. параллельно с работой в ВТУ им. М. С. Щепкина преподает в актерской мастерской Академии кинематографического и театрального искусства Н. С. Михалкова.
Снимается в кино. Всего на счету Алексея Дубровского более 30 работ в телевизионных и художественных фильмах.

Лауреат премии правительства РФ в области культуры за 2022 г. (за постановку спектакля "Мертвые души" по поэме Николая Гоголя в инсценировке Михаила Булгакова).

Заслуженный артист РФ (2021).