Родился 13 января 1923 г. в Петрограде (ныне Санкт-Петербург). Музыкой начал заниматься в восемь с половиной лет. Его первым педагогом стал отец - виолончелист Борис Семенович Шафран (1896-1980), который с 1941 г. возглавлял виолончельную группу симфонического оркестра Ленинградской филармонии.

В 1934 г. Даниил Шафран был принят в особую детскую группу (с 1936 г. - специальная музыкальная школа) при Ленинградской консерватории им. Н. А. Римского-Корсакова под руководством профессора Александра Яковлевича Штримера. Учился по классу виолончели.
В декабре 1935 г. впервые выступил в Большом зале консерватории с филармоническим оркестром под управлением Альберта Коутса, исполнив Вариации на тему рококо (произведение Петра Чайковского для виолончели с оркестром).
В 1937 г. 14-летний Даниил Шафран стал лауреатом I премии Всесоюзного конкурса скрипачей и виолончелистов в Москве. После этого была сделана первая грамзапись молодого музыканта - Вариации на тему рококо Петра Чайковского.
В сентябре 1941 г., после начала Великой Отечественной войны, оркестр филармонии был отправлен в эвакуацию в Новосибирск. Даниил Шафран остался в Ленинграде, где записался в народное ополчение, но спустя несколько месяцев уехал к семье в эвакуацию. С 1942 г. жил в Новосибирске. Выступал с оркестром под управлением Евгения Мравинского и Курта Зандерлинга.
В начале 1943 г. музыканта пригласили в Москву, где он стал солистом Московской государственной академической филармонии.
В 1946 г. сыграл и записал Сонату для виолончели Дмитрия Шостаковича, при этом фортепианную партию исполнил сам композитор.
В 1950 г. окончил Ленинградскую консерваторию им. Н. А. Римского-Корсакова по классу виолончели.
К этому времени Даниил Шафран уже получил международную известность: в 1949 г. он был удостоен I премии конкурса Международного фестиваля молодежи и студентов в Будапеште (Венгрия), в 1950 г. - I премии на Международном конкурсе виолончелистов им. Г. Вигана музыкального фестиваля "Пражская весна" (Чехословакия, ныне - Чешская Республика). В западной прессе молодого виолончелиста называли "чудом из России", "Паганини XX века", отмечая поэтичность и виртуозность исполнения, красоту и певучесть звука его виолончели.
В 1959 г. первым из советских исполнителей Даниил Шафран был избран почетным академиком Всемирной академии музыкантов (Рим, Италия).
Музыкант много гастролировал, посетил Австрию, Бельгию, Великобританию, Германию, Италию, Канаду, Польшу, Чехословакию, Японию, страны Ближнего Востока, Латинской Америки и др. В 1960 г. дебютировал на сцене Карнеги-холла (Нью-Йорк, США) с Первой сонатой Моисея Вайнберга. Выступал со всемирно известными оркестрами и дирижерами, исполнял камерные концерты, записывал пластинки. Давал мастер-классы в Великобритании, Германии, Италии, Люксембурге, Финляндии, Японии и др.
В его репертуаре были сочинения Франца Йозефа Гайдна, Роберта Шумана, Антонина Дворжака, Шарля-Камиля Сен-Санса, Сергея Прокофьева, Арама Хачатуряна, Дмитрия Шостаковича и др. Даниил Шафран исполнил все сонаты Людвига ван Бетховена и Иоганнеса Брамса, шесть сюит Иоганна Себастьяна Баха, сочинения Жозефа Мориса Равеля, Клода Дебюсси. Он являлся первым исполнителем многих виолончельных сочинений современных авторов. Композиторы Дмитрий Кабалевский и Борис Арапов посвятили свои сочинения Даниилу Шафрану. Виолончелист исполнил первый концерт Тихона Хренникова, оба концерта Дмитрия Кабалевского, сочинения Бориса Чайковского, Альфреда Шнитке и др. В репертуаре Даниила Шафрана были и переложения, в том числе собственные, музыкальных произведений, написанных для других инструментов (Соната для скрипки №1 Иоганна Брамса, Соната "Арпеджиони" Франца Шуберта, Три романса для гобоя и фортепиано Роберта Шумана, Сюита в старинном стиле Альфреда Шнитке, Соната для альта Дмитрия Шостаковича, Итальянская сюита Игоря Стравинского и др.).
Более 60 лет он выступал на Большой и Малой сценах Ленинградской (Санкт-Петербургской) филармонии. Первое выступление Даниила Шафрана с оркестром филармонии после его возвращения из эвакуации состоялось 18 апреля 1945 г. Он работал с дирижерами Куртом Зандерлингом, Константином Ивановым, Константином Симеоновым, Геннадием Рождественским, Николаем Рабиновичем и др., с музыкантами Фридой Бауэр, Феликсом Готлибом, Антоном Гинзбургом, Андреем Волконским. До середины 1960-х гг. постоянным концертмейстером Даниила Шафрана была его супруга Нина Мусинян.
В 1951–1953 гг. выступал также с оркестром Ленинградского радиокомитета под управлением Евгения Светланова и Дмитрия Кабалевского (в 1953 г. оркестр стал вторым коллективом Ленинградской филармонии). Участвовал в концертах Государственного симфонического оркестра СССР и др.
В ноябре 1983 г. дал первый сольный концерт в Большом зале Ленинградской филармонии им. Дмитрия Шостаковича, посвященный 90-летию со дня рождения своего учителя Александра Штримера. Последний филармонический концерт Даниила Шафрана - 120-й по счету - состоялся в Большом зале филармонии 7 февраля 1996 г. вместе с Эрмитажным оркестром под управлением Саулюса Сондецкиса.
Даниил Шафран был председателем жюри многих международных конкурсов, в том числе Международного конкурса им. П. И. Чайковского (1974-1990).
С 1993 г. вел ежегодные мастер-классы в благотворительном фонде "Новые имена".
Музыкант скончался 7 февраля 1997 г. в Москве. Похоронен на Троекуровском кладбище.

Заслуженный артист РСФСР (1955).
Народный артист РСФСР (1971).
Народный артист СССР (1977).
Был удостоен звания лауреата Сталинской премии третьей степени (1952) за концертно-исполнительскую деятельность.

Первой женой музыканта была пианистка, преподаватель Московской государственной консерватории им. П. И. Чайковского Нина Никитична (Мкртичевна) Мусинян. Вторая супруга Даниила Шафрана - Светлана Ивановна Шафран (1926-2014).

В сентябре 1997 г. уникальная виолончель Даниила Шафрана работы братьев Амати (1630) была передана его вдовой в дар Государственному музею музыкальной культуры им. М. И. Глинки (ныне Российский национальный музей музыки).
Российским фондом культуры, благотворительным фондом "Новые имена" была учреждена стипендия имени Даниила Шафрана.