Родился 12 октября 1963 г. в Москве в семье врачей.
В 1981-1982 гг. обучался на дневном отделении химико-технологического факультета Московского технологического института легкой промышленности (ныне - Российский государственный университет им. А. Н. Косыгина).
В 1982-1984 гг. прошел срочную службу в частях противовоздушной обороны Вооруженных сил СССР на Кольском полуострове.
В 1985 г. занялся предпринимательством, открыв несколько кооперативов по пошиву изделий из кожи и меха.
С 1991 по 2000 г. работал в компании "Ингосстрах", последовательно занимал ряд постов вплоть до заместителя генерального директора. Руководил строительством зданий и сооружений в Москве и Подмосковье. В 2000 г. (по другим данным - в 2001 г.) работал заместителем генерального директора ОАО "Московская страховая компания".
В 2018 г. газета "Ведомости" со ссылкой на свои источники называла Михаила Абрамова владельцем группы компаний "Плаза девелопмент", открывшей в Москве ряд бизнес-центров: "Верейская плаза", "Магистраль плаза", "Омега плаза", "Барклай плаза", West Park ("Уэст парк") и др., а также мебельный центр Roomer ("Румер").
С первой половины 2000-х гг. Абрамов занимался коллекционированием предметов византийского и древнерусского искусства. В 2006 г. преобразовал частную коллекцию в общедоступный Музей русской иконы. С 2011 г. музей работает на Гончарной улице в Москве, юридически он существует как благотворительный фонд "Частный музей русской иконы". По состоянию на 2019 г. коллекция насчитывает около 5 тыс. экспонатов, включая около 1 тыс. произведений русской иконописи XIV-XX веков. По данным Forbes, содержание музея обходилось его владельцу в десятки тысяч долларов США в месяц, выставки - в сотни тысяч долларов.
Михаил Абрамов проживал в пос. Николина Гора (Одинцовский район Подмосковья).
Погиб 20 августа 2019 г. в результате катастрофы вертолета у берегов греческого острова Порос. Похоронен на Ваганьковском кладбище в Москве.
В 2016 г. Михаил Абрамов был награжден медалью ЮНЕСКО "Пять континентов" за вклад в сохранение исторического наследия. Был лауреатом российской премии "Меценат года" (2017 г., присуждена за организацию выкупа и передачу Ярославскому историко-архитектурному и художественному музею-заповеднику иконы XVII века "Воскресение - Сошествие во ад со Страстями Христовыми в 18 клеймах").
Предприниматель входил в состав рабочей группы Госдумы РФ по подготовке закона "О коллекционировании и частных коллекциях в Российской Федерации". Был членом попечительских советов Высоко-Петровского мужского ставропигиального монастыря (Москва) и Саввино-Сторожевского ставропигиального мужского монастыря (Звенигород, Московская обл.), попечителем храма Святителя Николая в с. Аксиньино (Одинцовский район Московской обл.). Принимал участие в благотворительных аукционах фонда "Подари жизнь", оказывал помощь школе-пансионату при подворье Патриарха Московского и всея Руси в пос. Приазовский (Темрюкский район Краснодарского края).
Почетный член Российской академии художеств (2018).
Был женат, супруга - Светлана. Двое детей - сын и дочь.