Родился 10 августа 1945 г. в Москве в семье Артема Карповича Адабашьяна (1910-1974) и Валентины Никитичны Бархударовой (1917-1995). Его отец был инженером, специалистом в области монтажа и наладки систем контроля и автоматики. Мать - преподавательница немецкого языка.
В 1962 г. Александр Адабашьян поступил в Московское высшее художественно-промышленное училище (МВХПУ; ныне Московская государственная художественно-промышленная академия им. С. Г. Строганова). В 1964 г. был призван в Советскую армию. Служил в ракетных войсках (часть дислоцировалась под Пермью). Демобилизовавшись, возобновил обучение в вузе. В 1971 г. окончил МВХПУ по специальности "художник-постановщик".
Александр Адабашьян работает в кино с 1970-х гг. Был декоратором на съемках дипломной режиссерской работы Никиты Михалкова "Спокойный день в конце войны" (1970). Впоследствии Адабашьян неоднократно сотрудничал с Михалковым в работе над его фильмами: "Свой среди чужих, чужой среди своих" (1974, художник), "Раба любви" (1975, художник), "Неоконченная пьеса для механического пианино" (1977, художник и сценарист), "Пять вечеров" (1978, художник и сценарист), "Несколько дней из жизни И. И. Обломова" (1979, художник и сценарист), "Родня" (1981, художник), "Без свидетелей" (1983, художник), "Очи черные" (1987, художник и сценарист), "Солнечный удар" (2014, сценарист).
Также выступил в качестве сценариста фильмов "Транссибирский экспресс" (1977, режиссер Эльдор Уразбаев), "Рецепт ее молодости" (1983, Евгений Гинзбург), "Мой любимый клоун" (1986, Юрий Кушнерев), "Настя" (1993, Георгий Данелия), "Собибор" (2017, Константин Хабенский) и др. Был художником кинокартин "Матерь человеческая" (1975, Леонид Головня), "Сибириада" (1978, Андрей Кончаловский), "Избранные" (1982, Сергей Соловьев) и др.
Александр Адабашьян сыграл в более чем 50 фильмах и сериалах. Среди его ролей: инженер Михаил Тимофеев в мелодраме "Пять вечеров" по пьесе Александра Володина (1978, режиссер Никита Михалков), дворецкий Бэрримор в фильме "Собака Баскервилей" из цикла "Приключения Шерлока Холмса и доктора Ватсона" по произведению Артура Конан Дойла (1981, Игорь Масленников), Михаил Берлиоз в экранизации романа Михаила Булгакова "Мастер и Маргарита" (2005, Владимир Бортко).
В качестве режиссера в 1990 г. снял мелодраму "Мадо, до востребования" по роману Симоны Арес "Мадо", в 2002 г. - фильм "Азазель" по роману Бориса Акунина (в 2023 г. внесен в реестр террористов и экстремистов Росфинмониторинга, в 2024 г. добавлен Минюстом РФ в реестр иноагентов).
В 1997 г. поставил в Государственном академическом Мариинском театре (Санкт-Петербург) оперу Модеста Мусоргского "Борис Годунов", в 1998 г. в театре "Ла Скала" (Милан, Италия) - его же музыкальную драму "Хованщина".
Соавтор детской повести "Хрустальный ключ" (вместе с Анной Чернаковой).
Соучредитель ООО "Студия "Первый А" (работает в сфере кинопроизводства) и автономной некоммерческой организации "Кинофестиваль детских и молодежных фильмов "Гудвин".
Член Союза кинематографистов РФ.
Александр Адабашьян входит в попечительский совет Российской государственной детской библиотеки.
Заслуженный художник РСФСР (1983). Заслуженный деятель искусств РФ (2016).
Лауреат Государственной премии Казахской ССР им. К. Байсеитовой (1978).
Обладатель приза "За вклад в комедию" кинофестиваля "Улыбнись, Россия!" (Астрахань, 2006), спецприза жюри кинофестиваля "Окно в Европу" (Выборг, 2013; за сценарий и художественное оформление фильма "Собачий рай"), российской национальной актерской премии "Фигаро" им. Андрея Миронова (2022).
Женат вторым браком. Супруга - Екатерина Шадрина. Дочери - Александра и Екатерина. Первой женой была Марина Лебешева (скончалась в 1975 г.).