Родился 10 мая 1955 г. в г. Калач Воронежской обл.
В 1977 г. окончил Донской сельскохозяйственный институт (ныне - Донской государственный аграрный университет, ДонГАУ, пос. Персиановский Октябрьского района Ростовской обл.).
Доктор сельскохозяйственных наук. Кандидатскую диссертацию защитил в 1991 г. в Московской сельскохозяйственной академии им. К. А. Тимирязева (тема - "Влияние предшественников и обработки среднемощного предкавказского чернозема на урожайность зернового сорго"). В 1999 г. защитил докторскую диссертацию по теме "Обоснование и разработка адаптивной технологии выращивания зернового сорго в засушливой зоне Северного Кавказа".
Профессор (2006). Академик РАН (2016, по отделению сельскохозяйственных наук, растениеводства).
После вуза Андрей Алабушев работал младшим научным сотрудником центра селекции Донского зонального НИИ сельского хозяйства (ныне - Федеральный ростовский аграрный научный центр, пос. Рассвет, Аксайский район, Ростовская обл.). Затем перешел на работу в Донской селекционный центр по зерновым и кормовым культурам (в 2004-2017 гг. - ВНИИ зерновых культур им. И. Г. Калиненко, с 2017 г. - Аграрный научный центр "Донской", г. Зерноград). Работал старшим научным сотрудником (1978-1987), заведующим лабораторией (1987-1990), заведующим отделом (1991-1997), заместителем директора по науке (1999-2004). С 2004 г. был директором института.
Являлся председателем редакционной коллегии журнала "Зерновое хозяйство России".
Депутат Законодательного собрания Ростовской области VI созыва. 9 сентября 2018 г. был избран от "Единой России" по Целинскому одномандатному округу №17, набрал 59,3% голосов избирателей. Работал в комитетах по образованию, науке, культуре и информационной политике и по аграрной политике, природопользованию, земельным отношениям и делам казачества.
Был найден убитым 28 января 2020 г. в Зернограде вместе с супругой.
Согласно декларации, его доход в 2018 г. составил 4 млн 156 тыс. руб., супруги - 1 млн 755 тыс. руб.
Был награжден золотой и серебряной медалями "За вклад в развитие агропромышленного комплекса" Минсельхоза РФ, отраслевыми наградами.
Был автором более 220 научных работ в области растениеводства, в том числе 22 книг, среди которых "Проблемы и перспективы зерновой отрасли России" (2004), "Научные приоритеты интенсификации производства зерна" (2007), "Состояние и пути эффективности отрасли растениеводства" (2014). Андрей Алабушев создал пять новых сортов озимой пшеницы.