Родился 11 сентября 1947 г. Отец, Юрий Алексеевич, был стоматологом. Мать, Рива Яковлевна, работала врачом-дерматовенерологом. Семья жила в Уфе, затем переехала в Москву.
В 1970 г. Борис Александров окончил 1-й Московский медицинский институт им. И. М. Сеченова (ныне Первый Московский государственный медицинский университет им. И. М. Сеченова).
В 1972-1982 гг. работал врачом-терапевтом на теплоходе "Антон Буюклы" Сахалинского морского пароходства.
В 1982 г. вернулся в Москву и занялся нелегальным предпринимательством - наладил выпуск и продажу водки. В том же году был обвинен по статье 153 ("Частнопредпринимательская деятельность и коммерческое посредничество") Уголовного кодекса РСФСР. По собственным словам Александрова, он два года провел в предварительном заключении, после чего был приговорен к пяти годам лишения свободы в колонии, но в 1986 г. оправдан со снятием судимости.
В конце 1980-х - начале 1990-х гг. продолжил заниматься предпринимательством: совместно с коллегой Юрием Изачиком создал медицинский кооператив "Надежда", затем издавал на русском языке книги Агаты Кристи, торговал цветными металлами, коврами, стеклотарой и продуктами питания. В начале 1990-х гг. занимался перепродажей молочной продукции.
В 1994 г. совместно с Юрием Изачиком основал компанию (ныне группа компаний) "Ростагроэкспорт" и наладил выпуск творожных сырков под этой маркой. В 2006 г. компания вывела на рынок бренд "Б. Ю. Александров", под которым стала продавать творожные сырки высокого качества по ценам сильно выше среднерыночных. К 2018 г. "Ростагроэкспорт" с этой маркой занимал более 60% российского рынка творожных сырков. По состоянию на 2020 г. ГК "Ростагроэкспорт" включает в себя головной завод в Пушкинском районе Московской обл., завод по выпуску детского питания в Саратове и предприятие по производству глазури в Калининграде. Ежедневно ГК выпускает более 150 т продукции - глазированные сырки, творожную массу, творог, десерты, сметану и др. под брендами "Б. Ю. Александров", "Ростагроэкспорт", "Ностальгия", "Крепыш", "Вкусный день", "Шокомастер" и проч. По оценке портала Milknews, группа компаний Бориса Александрова в сентябре 2020 г. занимала 17-е место в рейтинге молокоперерабатывающих компаний РФ с выручкой 9,4 млрд руб.
Кроме того, в 2000-х гг. Александров основал и возглавил медицинский центр "Клиника доктора Александрова" (Москва). В 2013 г. открыл в Айзпуте (Латвия) центр коррекции веса Academy Vitality ("Академи виталити").
В первой половине 2010-х гг. у Бориса Александрова было диагностировано онкологическое заболевание. Длительные курсы лечения в Германии потребовали переезда в Европейский союз, в последние годы бизнесмен жил в латвийской Юрмале.
30 ноября 2020 г. стало известно, что Борис Александров скончался на 74-м году жизни. Об этом сообщили на сайте Молочного союза России.
Лауреат российской премии "Предприниматель года" (2004, 2006, 2007). Имел церковные награды - ордена Святого преподобного Сергия Радонежского III степени и Святого благоверного князя Даниила Московского III степени (за участие "Ростагроэкспорта" в восстановлении церкви Покрова Божьей Матери в Филях и крестильного храма при ней)
Автор книги "Сырок. История моей жизни и бизнеса" (2016).
Был пять раз женат. Трое детей от разных жен: сын Константин, дочери Екатерина (род. 1980, руководитель отдела премиум-продукции "Ростагроэкспорта") и Наталья (род. 1982).
Увлекался игрой в мини-футбол.