Родился 24 мая 1959 г. в г. Ашхабаде Туркменской ССР (ныне – Туркменистан) в семье военнослужащего.
В 1981 г. окончил юридический факультет Кемеровского государственного университета, в 2002 г. - факультет переподготовки и повышения квалификации Академии Генерального штаба Вооруженных сил РФ.
Кандидат юридических наук.
С 1981 г. работал следователем прокуратуры г. Ставрополя, затем прокуратуры Севастопольского района г. Москвы. В 1990-х гг. был юристом в различных коммерческих, учебных, финансовых организациях.
В 1996-1999 гг. занимал должности главного специалиста, начальника юридического отдела, затем заместителя генерального директора в федеральном государственном унитарном предприятии (ФГУП) "Госзагрансобственность" Управления делами президента РФ. В 1996-1997 г. заместителем руководителя ведомства, курирующим вопросы загрансобственности, был будущий президент РФ Владимир Путин.
С 1999 по 2000 г. Алексей Алешин был заместителем гендиректора - начальником административно-правового департамента ФГУП "Промэкспорт", которое занималось поставками за границу техники и вооружения из наличия Вооруженных сил РФ (в 2000 г. вошло в состав госкомпании "Рособоронэкспорт").
В 2000-2007 гг. - заместитель гендиректора ФГУП (ныне – АО) "Рособоронэкспорт", отвечал за правовые и кадровые вопросы, поставку запчастей, инвестиции. До 2004 г. госкомпанию возглавлял Андрей Бельянинов, в 2004-2007 гг. – Сергей Чемезов.
С 2007 по 2014 г. Алексей Алешин занимал должность первого заместителя генерального директора госкорпорации Ростехнологии (с 2014 г. – Ростех) Сергея Чемезова.
В конце 2000-х – начале 2010-х гг. входил в советы директоров компаний "АвтоВАЗ", "Корпорация "ВСМПО-Ависма", "Транспортно-выставочный комплекс "Россия", "Оборонпром", "Вертолеты России", "Российская электроника" и др.
С 13 января 2014 г. по 30 марта 2021 г. - руководитель Федеральной службы по экологическому, технологическому и атомному надзору (Ростехнадзор).
17 мая 2021 г. вступил в должность генерального директора "Национальной авиационно-сервисной компании" (НАСК) госкорпорации "Ростех".
Сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 12 млн 269 тыс. руб., супруги – 2 млн 522 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 10 млн 391 тыс. руб., супруги – 63 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2019 г. составила 12 млн 597 тыс. руб., супруги – 395 тыс. руб.
Действительный государственный советник РФ I класса (2019).
Награжден орденами Дружбы, "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2012). Отмечен благодарностью президента РФ (2017), Почетной грамотой правительства РФ (2021).
Женат, две дочери.