Родился 3 августа 1962 г. в Ленинграде (ныне Санкт-Петербург).
В 1983 г. окончил Ленинградский техникум морского приборостроения, в 2001 г. - Санкт-Петербургский университет МВД России по специальности "юриспруденция", в 2011 г. - Государственный университет управления (Москва) по специальности "государственное и муниципальное управление".
В 1979-1980 гг. работал техником Главной астрономической обсерватории Академии наук СССР в Ленинграде.
В 1983-1988 гг. - слесарь по аэрогидродинамическим испытаниям 4-го разряда Центрального НИИ им. академика А. Н. Крылова (ныне Крыловский государственный научный центр).
С 1988 по 2004 г. служил в органах внутренних дел. В 2000-х гг. работал в Центре по борьбе с терроризмом главного управления МВД РФ по Северо-Западному федеральному округу.
В 2004-2005 гг. был заместителем генерального директора по кадрам и обеспечению охранного предприятия "Отчизна" (Санкт-Петербург).
В 2005-2006 гг. занимал должность советника управляющего филиалом коммерческого банка "Северный морской путь" (Санкт-Петербург).
В 2006 г. переехал в Москву.
С 2006 г. - заместитель генерального директора, с июня 2007 г. по ноябрь 2008 г. - генеральный директор ОАО "Московский завод "Кристалл".
С 2008 по 2009 г. был заместителем генерального директора федерального государственного унитарного предприятия "Росспиртпром" (являлось основным акционером завода "Кристалл"). В марте 2009 г., после акционирования предприятия, занял пост генерального директора ОАО "Росспиртпром".
В 2009-2018 гг. - генеральный директор федерального казенного предприятия "Союзплодоимпорт". 21 декабря 2009 г. был назначен на эту должность распоряжением правительства РФ. Сменил Александра Чуркина, который возглавлял "Союзплодоимпорт" с момента его создания в 2002 г. Деятельность предприятия связана с регулированием оборота на российском и зарубежном рынках алкогольной продукции, произведенной под государственными товарными знаками (в том числе водки "Столичная", "Московская" и др.), а также с заключением лицензионных договоров на производство спиртных напитков под государственными брендами, контролем за их качеством и др.
С 11 июля 2018 г. Игорь Алешин является руководителем Федеральной службы по контролю за алкогольным и табачным рынками (Росалкогольтабакконтроль, до августа 2023 г. - Федеральная служба по регулированию алкогольного рынка, Росалкогольрегулирование). Сменил во главе ведомства Игоря Чуяна, в отношении которого вскоре было возбуждено уголовное дело по статье о злоупотреблении служебными полномочиями (в настоящее время экс-чиновник находится за рубежом).
Действительный государственный советник РФ II класса (2023).