Родился 16 июля 1910 г. в швейцарском г. Цюрихе в семье политэмигранта. Его отец - Абрам Моисеевич Аникст (1887-1938) - участник русского революционного движения, член анархо-синдикалистской группы, бежал из России в 1907 г. Весной 1917 г. вместе с Владимиром Лениным и группой политэмигрантов вернулся на родину. В разные годы был заместителем наркома труда РСФСР, наркомом труда Украины, членом президиума и заместителем председателя Госплана РСФСР. В 1937 г. был репрессирован, затем расстрелян. Мать Александра Аникста - Ольга Григорьевна (1886-1959) - занималась организацией профобразования в РСФСР, была основателем и первым ректором Московского института новых (иностранных) языков (ныне Московский государственный лингвистический университет), начальником управления учебных заведений в Наркомате местной промышленности РСФСР. После расстрела мужа приговорена к восьми годам исправительно-трудовых лагерей, реабилитирована в 1955 г.
После окончания десятилетней школы Александр Аникст поступил на литературное отделение Московского индустриально-педагогического института им. Карла Либкнехта. Позднее в связи с реорганизацией вуза был переведен во 2-й Московский государственный педагогический институт, который окончил в 1933 г.
Учился в аспирантуре вуза по специальности "история всеобщей литературы", одновременно занимался преподавательской и научной работой.
В 1938 г. защитил кандидатскую диссертацию по творчеству английского поэта Джона Мильтона. В 1930-1940-е гг. были опубликованы его первые работы, посвященные творчеству Уильяма Шекспира: театральные рецензии, статьи и др.
В июле 1941 г., после начала Великой Отечественной войны Александр Аникст вступил добровольцем в народное ополчение. Затем воевал в составе 83-й гвардейской стрелковой дивизии Западного фронта, был агитатором полка.
В 1942 г. вступил во Всесоюзную коммунистическую партию (большевиков) (с 1952 по 1991 г. - Коммунистическая партия Советского Союза, КПСС).
После контузии, полученной осенью 1943 г., назначен секретарем редакции газеты 153-й Смоленской стрелковой дивизии. В 1944 г. был отозван в Москву.
С 1944 по 1949 г. возглавлял кафедру всеобщей литературы Военного института иностранных языков. Был уволен в запас в 1949 г. в звании майора.
Затем стал преподавателем Государственного института театрального искусства им. А. Луначарского (ГИТИС). Был уволен из вуза в разгар т. н. борьбы с космополитизмом (массовая идеологическая кампания в СССР, направленная против прозападных тенденций среди советской интеллигенции).
Член Союза писателей с 1954 г.
С 1955 до 1988 г., до конца жизни, Александр Аникст работал в Институте истории искусств (в 1976-1992 гг. - Всесоюзный научно-исследовательский институт искусствознания, ныне Государственный институт искусствознания).
В 1963 г. получил ученую степень доктора искусствоведения, защитив в Институте истории искусств диссертацию по теме "Творчество Шекспира".
Шекспировская тема занимала центральное место в исследованиях Александра Аникста. В 1957-1960 гг. он стал соредактором (вместе с Александром Смирновым) полного собрания сочинений Шекспира в восьми томах, был также автором ряда комментариев и статей собрания сочинений, посвященных отдельным произведениям драматурга. Под его редакцией выходили шекспировские сборники Всероссийского театрального общества (ВТО; совместно с Абрамом Штейном). Всего Александр Аникст посвятил Шекспиру более 120 своих книг и публикаций.
Аникст стал организатором Шекспировских чтений, в которых принимали участие крупные отечественные литературоведы. По их итогам выпускал сборники научных статей, с середины 1970-х гг. был редактором основанной им серии "Шекспировские чтения".
В 1964 г. в составе советской делегации впервые принял участие в шекспировском театральном фестивале в Стратфорде-на-Эйвоне (Канада). Впоследствии регулярно участвовал в Стратфордских фестивалях. В 1974 г. был удостоен степени почетного доктора Бирмингемского университета (University of Birmingham; Великобритания).
Стал членом Международной шекспировской ассоциации (International Shakespeare Association), Международной ассоциации театральных критиков (International Association of Theatre Critics). Его статьи публиковались в зарубежной научной периодике.
В 1975 г. Александр Аникст предложил создать на базе Кабинета Шекспира и западноевропейского театра при Всероссийском театральном обществе академическую организацию, целью которой станет координация научно-исследовательской работы по изучению в Советском Союзе творчества Уильяма Шекспира. В том же году научный совет по истории мировой культуры при президиуме Академии наук СССР образовал Шекспировскую комиссию.
В 1975 г. Александр Аникст возглавил московское отделение комиссии, затем занял пост председателя Шекспировской комиссии АН СССР (ныне Шекспировская комиссия при научном совете "История мировой культуры" РАН). Возглавлял ее до 1988 г.
Научная деятельность Александра Аникста была посвящена изучению истории западноевропейского театра, англоязычной и немецкой литературы, в первую очередь творчества Уильяма Шекспира и Иоганна Гете. Он принимал участие в издании "Истории английской литературы", "Истории западноевропейского театра", "Литературного энциклопедического словаря". Среди работ Александра Аникста: "Шекспир" (1964, серия Жизнь замечательных людей), "Театр эпохи Шекспира" (1965), "Теория драмы от Аристотеля до Лессинга" (1967), "Теория драмы в России. От Пушкина до Чехова" (1972), "Шекспир: ремесло драматурга" (1974), "Теория драмы от Гегеля до Маркса" (1983), "Гете и Фауст: от замысла к свершению" (1983), "Творческий путь Гете" (1986).
24 декабря 1988 г. Александр Аникст скончался на своей даче в подмосковном поселке Переделкино (ныне в составе Москвы). Похоронен на Ваганьковском кладбище Москвы.
Был награжден орденами Отечественной войны II степени, Дружбы народов (1980), медалями.
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1987).
Ему посвящен документальный фильм "Сэр Александр Аникст" (2010; реж. Ольга Ларина).
Супруга - Евгения Федоровна Аникст (в девичестве - Бехли; 1910-1995), переводчик, член Союза писателей СССР. Сын - Михаил Аникст (род. 1938) - российский и британский график, иллюстратор, театральный художник, заслуженный художник РСФСР.