Родился 3 июня 1940 г. в Москве в семье Якова Николаевича и Анастасии Петровны Аркаевых. Его родители были родом из деревни Сайгуши (Чамзинский район Мордовской АССР, ныне Республика Мордовия). В 1943 г. отец ушел на фронт и погиб в бою под Харьковом (Украинская ССР, ныне Украина). Леонид Аркаев с матерью в годы войны находились в эвакуации у родственников в Мордовской АССР. В 1944 г. они вернулись в Москву.
В 1966 г. Леонид Аркаев окончил Московский инженерно-строительный институт им. В. В. Куйбышева (ныне Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет), в 1977 г. - Московский областной государственный институт физической культуры (ныне Московская государственная академия физической культуры, пос. Малаховка Люберецкого района Московской области).
Кандидат педагогических наук. В 1994 г. в Санкт-Петербургской государственной академии физической культуры им. П. Ф. Лесгафта (ныне Национальный государственный университет физической культуры, спорта и здоровья им. П. Ф. Лесгафта) защитил диссертацию в виде научного доклада на тему "Интегральная подготовка гимнастов на примере сборной команды страны".
Спортивная карьера
С 1953 г. Леонид Аркаев занимался спортивной гимнастикой в московском клубе "Строитель". В 1957 г. в Риге (Латвийская ССР, ныне Латвийская Республика) принял участие в Спартакиаде школьников СССР.
В 1959-1969 гг. входил в состав сборной Советского Союза. На внутренних соревнованиях представлял спортивное общество "Локомотив". Становился двукратным чемпионом Спартакиады народов СССР, пятикратным чемпионом страны в составе команды Москвы.
В 1973 г. завершил спортивную карьеру.
Тренерская и административная деятельность
В 1973-1991 гг. Леонид Аркаев являлся старшим тренером мужской сборной команды СССР по спортивной гимнастике (в 1986-1991 гг. параллельно руководил Управлением гимнастики Госкомспорта). С 1992 по 2004 г. работал в качестве главного тренера мужской и женской сборных команд России (в течение этого периода также возглавлял Федерацию спортивной гимнастики России). Под его руководством отечественные спортсмены многократно становились победителями и призерами Олимпийских игр, чемпионатов мира и Европы.
В 2006-2007 гг. работал с гимнастами Республики Корея: был главным тренером женской сборной и консультантом мужской.
С конца 2000-х гг. по 2016 г. Леонид Аркаев возглавлял в Саранске (Республика Мордовия) Спортивную школу олимпийского резерва по спортивной гимнастике.
Был членом исполкомов Олимпийского комитета России, Европейского гимнастического союза и Международной федерации гимнастики (ныне является почетным членом данной организации).
Автор нескольких десятков научных публикаций, посвященных теории и практике спортивной гимнастики. В 2004 г. вместе с доктором педагогических наук Николаем Сучилиным выпустил книгу "Как готовить чемпионов. Теория и технология подготовки гимнастов высшей квалификации".
Звания, награды
Заслуженный тренер СССР (1976).
Награжден орденами "Знак Почета", Дружбы народов, Трудового Красного Знамени (1980), Ленина (1985), "За заслуги перед Отечеством" II и III степеней (2001, 1996).
Отмечен серебряным Олимпийским орденом МОК (2000).
Член Международного зала славы гимнастики (2011, г. Оклахома-Сити, США).
Личные сведения
Дочери - Екатерина (род. 1965) и Ксения (род. 1975).