Родился 6 апреля 1958 г. в Ереване (Армянская ССР, ныне Армения), в семье офицера ВМФ СССР, капитана первого ранга Иосифа Серапионовича Авакянца.
В 1980 г. окончил Черноморское высшее военно-морское училище им. П. С. Нахимова (Севастополь), в 1991 г. - Высшие специальные офицерские классы ВМФ в Ленинграде (ныне Военный институт дополнительного профессионального образования ВУНЦ ВМФ "Военно-морская академия", Санкт-Петербург), в 1998 г. - Военно-морскую академию им. Адмирала Флота Советского Союза Н. Г. Кузнецова, в 2007 г. - Военную академию Генерального штаба Вооруженных Сил РФ по специальности "Военное и государственное управление".
Службу начал на Северном флоте (СФ) ВМФ СССР. С августа 1980 г. по апрель 1985 г. являлся командиром группы управления зенитно-ракетного дивизиона ракетно-артиллерийской боевой части (БЧ-2) большого противолодочного корабля "Адмирал Юмашев".
В апреле - июне 1985 г. Сергей Авакянц командовал зенитно-ракетным дивизионом БЧ-2 ракетного крейсера "Адмирал флота Лобов". Затем служил на ракетном крейсере "Маршал Устинов": командир зенитно-ракетного дивизиона БЧ-2, помощник, старший помощник командира корабля. С сентября 1991 г. в звании капитана 3 ранга стал командиром крейсера (с 1994 г. "Маршал Устинов" находился в ремонте).
С 1996 г. служил заместителем командира, с 1998 г. - начальником штаба, с 2001 г. - командиром 43-й дивизии ракетных кораблей СФ (Североморск, Мурманская обл., в соединение входили два крупнейших корабля ВМФ России - авианесущий крейсер "Адмирал Кузнецов" и ракетный крейсер "Петр Великий").
В 2004-2007 гг. Сергей Авакянц был начальником штаба - первым заместителем командира 7-й ("Атлантической") оперативной эскадры надводных кораблей СФ.
С июня по август 2007 г. занимал должность начальника штаба - первого заместителя командира Новороссийской военно-морской базы Черноморского флота (ЧФ).
В сентябре 2007 г. был переведен на Тихоокеанский флот (ТОФ), где до 2010 г. занимал должность командующего Приморской флотилией разнородных сил (ныне Приморское объединение разнородных сил ТОФ).
С 25 августа 2010 г. по апрель 2012 г. являлся начальником штаба - первым заместителем командующего ТОФ.
С 29 октября 2010 г. временно исполнял обязанности командующего ТОФ в связи с назначением своего предшественника - адмирала Константина Сиденко - командующим войсками Восточного военного округа.
3 мая 2012 г. Сергей Авакянц был назначен командующим ТОФ.
В апреле - сентябре 2016 г. руководил комплексной исследовательской экспедицией Русского географического общества на остров Матуа (Большая гряда Курильских островов, Сахалинская обл.).
В апреле 2023 г. стало известно, что адмирал Сергей Авакянц уволен в запас в связи с достижением предельного возраста пребывания на военной службе (для адмиралов она составляет 65 лет).
19 апреля того же года заместитель председателя правительства РФ, полномочный представитель президента РФ в Дальневосточном федеральном округе (ДФО) Юрий Трутнев сообщил, что адмирал Сергей Авакянц, возглавил штаб, курирующий центры военно-спортивной подготовки и патриотического воспитания.
С 2023 г. руководит деятельностью Института мировой военной экономики и стратегии в национальном исследовательском университете "Высшая школа экономики".
Адмирал (2014).
Награжден орденами Александра Невского, "За заслуги перед Отечеством" IV ст. (2021), "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР" III ст., "За военные заслуги" (1996), "За морские заслуги" (2010), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II ст. (2002), медалями.