Родился 8 мая 1916 г. в Рио-де-Жанейро (Бразилия) в семье бельгийского иммигранта Фостена Авеланжа.
В 1940 г. окончил университет Флуминенсе (гор. Нитерой, штат Рио-де-Жанейро), получив ученую степень (PhD) в области права.
С детских лет увлекался спортом. В начале 1930-х гг. выступал за юношеский состав футбольного клуба "Флуминенсе".
В 1936 г. принимал участие в соревнованиях по плаванию на 400 и 1500 м на XI летних Олимпийских играх в Берлине (Германия), однако не смог преодолеть отборочную стадию.
В 1951 г. в Буэнос-Айресе (Аргентина) в числе игроков бразильской ватерпольной команды стал серебряным медалистом I Панамериканских игр.
В 1952 г. входил в состав сборной Бразилии по водному поло, занявшей 13-е место на XV летних Олимпийских играх в Хельсинки (Финляндия).
В начале 1950-х гг. занимал пост генерального директора компании-производителя автобусов Cometa ("Комета", гор. Сан-Паулу).
С 1955 по 1963 г. был членом Олимпийского комитета Бразилии.
В 1956 г. являлся главой бразильской делегации на XVI летней Олимпиаде в Мельбурне (Австралия).
С 1958 по 1974 г. возглавлял Бразильскую конфедерацию спорта - структуру, управлявшую в стране всеми олимпийскими видами спорта, в том числе футболом. За время его руководства организацией национальная сборная Бразилии трижды становилась чемпионом мира по футболу (1958, 1962, 1970).
С 1963 по 2011 г. являлся членом Международного олимпийского комитета.
С 1974 по 1998 г. занимал пост президента Международной федерации футбола (Federation internationale de football association, FIFA; ФИФА).
Основным вкладом Авеланжа в развитие футбола считается увеличение участников финальных турниров мировых первенств с 16 до 32 команд (произошло на ЧМ-1998 во Франции) и повышение роли африканских, азиатских, северно- и центральноамериканских сборных на международной арене. За время его президентства в состав ФИФА вошли 50 национальных футбольных ассоциаций. Кроме этого, были впервые проведены чемпионаты мира среди молодежных (1977, Тунис) и юношеских (1985, Китай) команд, а также чемпионат мира среди женщин (1991, Китай).
Был одним из инициаторов проведения в СССР в 1985 г. чемпионата мира по футболу среди молодежных команд.
В июне 1998 г. стал почетным президентом ФИФА, однако в апреле 2013 г. покинул этот пост из-за обвинений в коррупции (в 2012 г. были обнаружены документы, согласно которым в 1997 г. Авеланж в виде взяток получил около 1,5 млн швейцарских франков).
На протяжении 2014-2016 гг. неоднократно госпитализировался в связи с легочными заболеваниями.
Скончался в Рио-де-Жанейро 16 августа 2016 г.
Являлся кавалером ордена Почетного легиона (Франция), имел правительственные награды Бразилии, Испании, Португалии и Швеции.
Был женат на Анне Марии Авеланж. Имел дочь Люсию.