Родился 6 октября 1893 г. (по старому стилю 24 сентября 1893 г.) в деревне Бардино Тайнинской волости Московского уезда Московской губернии (ныне деревня Бородино в составе г. Мытищи, Московская обл.). В детстве жил в пос. Лосиноостровский (ныне Лосиноостровский район Москвы).
После окончания трех классов школы с 1909 по 1914 г. работал подручным в бакалейной лавке в Лосиноостровском, учеником и подмастерьем в железнодорожных мастерских в Москве, слесарем-монтажником двигателей внутреннего сгорания в одном из московских торговых домов.
В 1914 г. Михаил Бабушкин был мобилизован в Русскую императорскую армию. В 1915 г. окончил Гатчинскую военную авиационную школу под Петроградом (ныне Санкт-Петербург). Получил звание летчика и был оставлен в авиашколе инструктором, в 1917 г. был произведен в прапорщики инженерных войск.
После Октябрьской революции 1917 г. выехал в Харьков (Украина) для организации там отделения военной авиационной школы. Из-за немецкого наступления переехал вместе с авиашколой в Самару.
В июне 1918 г. после вооруженного мятежа Чехословацкого корпуса Михаил Бабушкин оказался на территории, которая контролировалась белыми войсками, и начал службу в Белой армии. В октябре 1918 г. авиашкола была переведена в Курган, в августе 1919 г. - в Читу, а затем в Спасск-Приморский (ныне Спасск-Дальний, Приморский край). В 1919 г. Михаил Бабушкин был произведен в подпоручики.
В апреле 1920 г. примкнул к большевистскому партизанскому отряду. Участвовал в столкновениях с японскими войсками, захватившими Спасск-Приморский, был ранен и долгое время находился на лечении в госпиталях. С апреля 1921 г. работал летчиком-инструктором Дальневосточной военной авиационной школы (Владивосток).
В ноябре 1922 г. вступил в ряды Рабоче-крестьянской Красной армии. В 1923 г. Дальневосточная авиашкола была переведена в Москву, Михаил Бабушкин был демобилизован.
С 1923 г. работал пилотом акционерного общества добровольного воздушного флота "Добролёт". Выполнял агитационные рейсы, регулярные полеты на Севере, перевозку пассажиров, проводил аэрофотосъемку. Выдвинул идею воздушных ледовых разведок и в 1925 г. провел на самолете-амфибии Ш-2 первую разведку тюленьих лежбищ в Горле Белого моря. В июне - июле 1928 г. на ледокольном пароходе "Малыгин" участвовал в поисках дирижабля "Италия" с экспедицией под руководством Умберто Нобиле, потерпевшего крушение в Арктике (Михаил Бабушкин совершил 15 поисковых полетов со льда на самолете Junkers F13).
В 1930-1933 гг. был пилотом советского Гражданского воздушного флота.
В 1933 г. занял должность летчика Полярной авиации Главсевморпути.
В августе 1933 г. - феврале 1934 г. участвовал в полярной экспедиции Отто Шмидта на ледокольном пароходе "Челюскин". 13 февраля 1934 г. затертое льдами судно затонуло в Чукотском море, экипаж и пассажиры перешли в ледовый лагерь. Михаил Бабушкин восстановил на льду самолет-амфибию Ш-2 и 2 апреля того же года вылетел в становище Ванкарем (ныне в Иультинском районе Чукотского автономного округа). Вскоре экспедиция была эвакуирована советскими летчиками.
В июле - сентябре 1935 г. Бабушкин в качестве командира авиаотряда принимал участие в первой высокоширотной полярной экспедиции ледокола "Садко".
21 мая 1937 г. самолет Н-170 (Г-2/АНТ-6) под управлением командира воздушного судна Михаила Водопьянова и второго пилота Михаила Бабушкина впервые в мире совершил посадку на лед в районе Северного полюса. Самолет высадил группу исследователя Ивана Папанина, основавшую первую дрейфующую научную станцию "Северный полюс - 1". Постановлением ЦИК СССР от 27 июня 1937 г. Михаилу Бабушкину в составе других участников экспедиции было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина.
В 1937-1938 гг. Бабушкин был задействован в поисках самолета Героя Советского Союза летчика Сигизмунда Леваневского, пропавшего при перелете из Москвы через Северный полюс в США.
Михаил Бабушкин погиб 18 мая 1938 г. на 45-м году жизни в авиакатастрофе. После безрезультатного завершения поисков Леваневского самолет АНТ-6, на борту которого в качестве пассажира находился Бабушкин, вылетел из Архангельска в Москву, но разбился вскоре после взлета.
Похоронен в Москве в колумбарии Новодевичьего кладбища.
Являлся депутатом Верховного Совета СССР I созыва (с 1937 г.).
Был награжден орденами Красного Знамени (1928), Красной Звезды (1934).
В 1941 г. была издана книга "Записки летчика М. С. Бабушкина. 1893-1938", составленная на основе личного архива авиатора.
Михаил Бабушкин был женат на Марии Семеновне Бабушкиной (1894-1979). Сыновья Михаил (1917-1941) и Олег (1923-1944) были военными летчиками, погибли в годы Великой Отечественной войны. Дочь - Галина (1919-2014).
Поселок Лосиноостровский в 1939-1960 гг. имел статус города и носил имя Бабушкин. Памятник герою установлен в Москве, бюсты - в Москве и Сыктывкаре, памятный знак - на мемориале аэродрома Ягодник под Архангельском. В честь Михаила Бабушкина названы район, улица и станция метро в Москве, улицы в Архангельске, Екатеринбурге, Сыктывкаре и др. населенных пунктах, острова в архипелаге Новая Земля, в Антарктиде и в Баренцевом море, мыс на одном из островов архипелага Земли Франца Иосифа.