Родился 10 марта 1960 г. в Москве в семье артистов балета Государственного академического Большого театра.
В 1971-1978 гг. учился в Московской средней художественной школе при Московском государственном художественном институте им. В. И. Сурикова Академии художеств СССР (ныне Московская центральная художественная школа при Российской академии художеств).
В 1983 г. окончил Московский государственный художественный институт им. В. И. Сурикова (ныне Московский государственный академический художественный институт им. В. И. Сурикова при Российской академии художеств).
Работа художником
В 1983-1991 гг. Алексей Бегак работал иллюстратором, сотрудничал с московскими издательствами "Советский писатель" и "Книга".
С 1991 г. занимался живописью. В том же году выставка его работ прошла в Амстердаме (Нидерланды). В 1992 и 1995 гг. произведения Алексея Бегака экспонировались в Лондоне (Великобритания).
С середины 1990-х гг. проводил свои выставки в Москве (в разные годы они состоялись в Центральном доме художника, Еврейском музее и центре толерантности, Центре современного искусства "Винзавод").
В феврале 2022 г. выставка Алексея Бегака "Другие берега" открылась в музее современного искусства "Эрарта" (Санкт-Петербург).
В своих работах автор обращался к пейзажам, анималистическим и архитектурным сюжетам, использовал методы гиперреализма. По оценке специалистов, для его картин были характерны строгость композиции, лаконичный колорит и внимание к деталям.
Алексей Бегак также занимался скульптурой и дизайном интерьеров.
Работа на телевидении
В начале 2010-х гг. на канале "Россия-1" Алексей Бегак вел программы о дизайне и интерьере "С новым домом!" и "1000 мелочей".
С 2014 г. был ведущим передачи "Правила жизни" ("Россия-Культура"), посвященной различным традициям, нормам морали и этикета. Гостями проекта были социологи, культурологи, историки и др. В 2017 г. "Правила жизни" были отмечены премией ТЭФИ в категории "Развлекательная программа. Образ жизни".
В 2014 г. Алексей Бегак являлся соведущим третьего сезона проекта "Большая опера" на канале "Россия-Культура", в 2017-2018 гг. на том же канале вел интеллектуальную игру "Гений".
В 2018-2019 гг. был соведущим Михаила Жванецкого в программе "Дежурный по стране" ("Россия-1").
Книги
Алексей Бегак издал книги "Психология: о самой загадочной области - ведущие эксперты стран" (2021), "Мозг: о самой загадочной области - ведущие эксперты страны" (2021) и "Искусство: о чувстве прекрасного - ведущие эксперты страны" (2022). Все они были созданы на основе выпусков телепрограммы "Правила жизни".
Кончина
Алексей Бегак скончался 29 мая 2022 г. на 63-м году жизни.