Родился 16 марта 1931 г. в городе Боскобелль округа Сент-Питер на острове Барбадос.
В 1936–1944 гг. учился в боскобелльской школе для мальчиков (Boscobelle Boys’ School), в 1944–1949 гг. – в школе им. Колериджа и Пэрри (Coleridge and Parry School) в г. Аштон-Холл, округ Сент-Питер.
В 1952 г. поступил на государственную службу и начал работать заведующим делопроизводством.
В 1963 г. окончил Лондонский университет (Великобритания), где получил степень бакалавра права. Позднее стал магистром криминологии и социологии в Кембриджском университете (Великобритания).
После окончания Лондонского университета вступил в английскую коллегию адвокатов.
В 1966 г. вернулся на Барбадос, где стал членом местной коллегии адвокатов.
В 1967 г. Эллиот Белгрейв стал помощником регистратора (главная административная должность) в Верховном суде Барбадоса, в 1968 г. был назначен мировым судьей, а в 1970 г. – старшим адвокатом короны (Senior Crown Counsel - государственный обвинитель в уголовных делах).
В 1970–1972 гг. преподавал юриспруденцию в Колледже Холборн в Лондоне (Великобритания).
В 1976 г. был назначен заместителем руководителя прокуратуры Барбадоса.
В 1980 г. стал королевским адвокатом (Queen's Counsel – почетная должность, на которую назначают за выдающиеся заслуги в юриспруденции).
В 1987-1996 г. Эллиот Белгрейв входил в состав Верховного суда Барбадоса. В период 1987–1995 гг. неоднократно был его председателем.
С 1996 г. был членом нескольких специальных комиссий, занимавшихся расследованием нарушений и преступлений в пенитенциарных учреждениях.
В 2002–2003 гг.- судья в апелляционном суде. После этого завершил карьеру в судебных органах.
В период с 2008 по 2011 г. неоднократно заменял Клиффорда Хасбендса на посту генерал-губернатора, так как тот в силу преклонного возраста и состояния здоровья стал постепенно отходить от дел. После отставки Хасбендса 31 октября 2011 г. временно исполнял обязанности генерал-губернатора (с 1 ноября 2011 г. по 30 мая 2012 г.).
1 июня 2012 г. он был назначен королевой Великобритании генерал-губернатором Барбадоса.
В декабре 2016 г. объявил о своем намерении покинуть пост генерал-губернатора в следующем году. Ушел в отставку 30 июня 2017 г.
Прихожанин англиканской церкви им. Св. Стефана (St. Stephen’s Anglican Church). В течение нескольких лет был ее представителем в синодальном совете.
Эллиот Белгрейв – кавалер ордена славы Барбадоса (1993), рыцарь ордена св. Андрея (высшая государственная награда Барбадоса; 2012), рыцарь большого креста св. Михаила и св. Георгия (Великобритания, 2012).
Женат на Лоретте Белгрейв. Дочь Сьюзан.
В свободное время увлекается садоводством и чтением.