Родился 5 января 1949 г. в Москве. Его отец, Вадим Михайлович Коростелев, работал в Министерстве автомобильной промышленности СССР, занимал руководящие посты на Брянском автозаводе. Мать была работником культуры. В подростковом возрасте Александр Беляев занимался в шахматном кружке.
В 1972 г. окончил географический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова по специальности "Гидрология суши". В студенческие годы играл в факультетском самодеятельном театре.
Кандидат географических наук. В 1980 г. в Институте географии Академии наук СССР (ныне Институт географии Российской академии наук) защитил диссертацию на тему "Зональные комплексные зависимости и их использование для воднобалансового картографирования".
После окончания вуза Александр Беляев работал по распределению в проектно-изыскательском институте "Союзводоканалпроект", затем, с 1973 г., - в Институте географии Академии наук СССР. С 1987 г. до середины 2010-х гг. был заместителем директора института по научным вопросам. Руководил лабораторией экспериментальных исследований геосистем. Был автором около ста научных работ.
В конце 1980-х гг. в Институте географии Академии наук СССР стал одним из создателей и руководителей группы "Меркатор", которая занималась разработкой метеорологической инфографики для СМИ. В 1990-х гг. группа начала разрабатывать компьютерные карты для телевизионных информационных выпусков, а также сотрудничать с телекомпанией "Метео-ТВ".
С 1998 г. Александр Беляев работал ведущим прогноза погоды на телеканале НТВ. В 2007-2008 гг. также вел детскую интеллектуальную телеигру "Сразись с нацией" на телеканалах "Россия" и "Бибигон". В 2011 г. у Александра Беляева было диагностировано онкологическое заболевание. С осени 2017 г. по февраль 2018 г. он приостанавливал работу на телевидении в связи с лечением. В 2018 г. на несколько месяцев вернулся в эфир.
Был женат на Нине Беляевой (архитектор, скончалась в 2017 г.). Сын - Илья (род. 1974, выпускник географического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова).
Александр Беляев увлекался филателией, имел большую коллекцию марок.