Родился 11 апреля 1942 г. в поселке Энем Краснодарского края (ныне в Республике Адыгея) в семье рабочего.
В 1965 г. с отличием окончил Качинское высшее военное авиационное училище летчиков (ВВАУЛ) имени А. Ф. Мясникова в Волгограде по специальности "Боевое применение и эксплуатация самолетов" с присвоением звания лейтенанта. В 1977 г. - заочно Военно-воздушную академию имени Ю. А. Гагарина (располагалась в пос. Монино, Московская обл.) по специальности "Командно-штабная авиация".
С августа 1959 г. по июнь 1961 г. работал токарем на заводе "Нефтемаш" в г. Новочеркасске (Ростовская обл.).
После окончания Качинского ВВАУЛ, с декабря 1965 г. служил в училище летчиком-инструктором. Затем с марта 1967 г. был старшим летчиком, с апреля 1970 г. - командиром авиазвена истребительного авиационного полка Одесского военного округа в г. Тирасполе (Молдавская ССР, ныне непризнанная Приднестровская Молдавская Республика).
Инструктор парашютно-десантной подготовки (1969), военный летчик I класса (1978). Освоил самолеты Як-18, МиГ-15УТИ, МиГ-17, Миг-21.
27 апреля 1970 г. приказом главкома ВВС СССР Анатолий Березовой был зачислен слушателем-космонавтом в отряд Центра подготовки космонавтов имени Ю. А. Гагарина (ЦПК). После прохождения курса общекосмической подготовки, 6 июля 1972 г. был назначен космонавтом 1-го отдела 1-го управления ЦПК.
В 1972-1974 гг. проходил подготовку по программе "Спираль" (советский проект по созданию орбитального самолета). С 1976 г. входил в группу орбитальных кораблей и станций, с 1979 г. - в группу космических летательных аппаратов спецназначения, с 1982 г. - в группу орбитальных пилотируемых комплексов общего и специального назначения.
С января 1982 г. занимал должность космонавта-испытателя отряда ЦПК.
Анатолий Березовой совершил единственный полет в космос 13 мая - 10 декабря 1982 г. продолжительностью 211 суток 9 часов 4 минуты. Был командиром первой основной экспедиции на орбитальную станцию "Салют-7" (стартовал на корабле "Союз Т-5", вернулся на "Союзе Т-7"). Работал на станции с Валентином Лебедевым, а также с участниками экспедиций посещения (ЭП): советско-французским экипажем в составе Владимира Джанибекова, Александра Иванченкова и Жан-Лу Кретьена (Франция); членами ЭП-2 Леонидом Поповым, Александром Серебровым и Светланой Савицкой. В ходе полета Березовой и Лебедев провели эксперимент по выводу мини-спутников (двух радиолюбительских аппаратов "Искра") из шлюзовой камеры "Салюта-7", выполнили выход открытый космос (2 часа 33 минуты) с борта станции.
В декабре 1982 г. Анатолию Березовому была присвоена квалификация космонавта II класса.
Впоследствии он проходил подготовку к полетам по программе "Интеркосмос" в качестве командира дублирующих экипажей с участием космонавтов из Индии и Афганистана, а также по программе подготовки командира-спасателя корабля (без бортинженера) для эвакуации экипажа с орбитальной станции в случае необходимости.
В 1985 г. стал одним из учредителей международной Ассоциации участников космических полетов, объединившей космонавтов и астронавтов из разных стран мира.
С июня 1984 г. был командиром группы кандидатов в космонавты-испытатели, с апреля 1991 г. - заместителем командира отряда космонавтов ЦПК. Одновременно занимал должность инструктора-космонавта-испытателя.
В 1992 г. Анатолий Березовой был уволен с военной службы в запас по возрасту в звании полковника ВВС. В связи с этим 31 октября того же года выбыл из отряда космонавтов.
После ухода из ЦПК участвовал в работе Федерации космонавтики России (ФКР). В 1992-1999 гг. был заместителем президента, затем являлся членом бюро президиума ФКР.
17 декабря 1995 г. баллотировался в Государственную думу РФ II созыва в качестве независимого кандидата от Республики Адыгея, избран не был.
Был одним из факелоносцев олимпийского огня в преддверии зимних Игр в Сочи (2014), пронес факел по улицам столицы Адыгеи г. Майкопа.
Анатолий Березовой скоропостижно скончался 20 сентября 2014 г. на 73-м году жизни. Похоронен на кладбище дер. Леониха (Щелковский р-н, Московская обл.).
Герой Советского Союза (1982). Летчик-космонавт СССР (1982).
Награжден орденами Ленина (1982), "За службу Родине в Вооруженных Силах СССР" III степени, медалью "За заслуги в освоении космоса" (2011).
Награды иностранных государств: офицер ордена Почетного легиона (Франция; 1982), ордена "Солнце Свободы" (Афганистан; 1988) и "Кирти Чакра" (Индия; 1984).
Соавтор книги "С думой о Земле" (1987).
Имя Анатолия Березового носит средняя школа №2 поселка Энем, где учился космонавт.