Родился 2 ноября 1954 г. в Москве.
В 1977 г. окончил Московский государственный историко-архивный институт (МГИАИ; ныне Российский государственный гуманитарный университет, РГГУ).
Доктор исторических наук. В 1981 г. в МГИАИ защитил кандидатскую диссертацию на тему "Партийное руководство деятельностью Московской городской организации ВЛКСМ по развитию движения студенческих отрядов в годы VIII и IX пятилеток, 1966-1975 гг.". В 1997 г. в РГГУ - докторскую диссертацию на тему "Власть и научно-техническая политика в СССР: середина 50-х - середина 70-х годов".
В 1999 г. получил ученое звание профессора.
После окончания Московского государственного историко-архивного института остался работать в вузе.
В 1991 г. на базе МГИАИ был сформирован РГГУ, при этом Историко-архивный институт (ИАИ) сохранился в качестве подразделения университета.
В 1994 г. Александр Безбородов был назначен директором Историко-архивного института Российского государственного гуманитарного университета.
В 1998 г. стал заведующим кафедрой истории России новейшего времени ИАИ РГГУ.
В 2013-2016 гг. занимал должность проректора РГГУ по учебной работе.
В 2016-2017 гг. был первым проректором РГГУ - проректором по учебной работе.
С 2017 по 2024 г. Александр Безбородов возглавлял Российский государственный гуманитарный университет. 29 августа 2017 г. приказом министра образования и науки РФ Ольги Васильевой был назначен и. о. ректора РГГУ после увольнения предыдущего руководителя вуза - Евгения Ивахненко. 28 августа 2018 г. Безбородов был назначен ректором университета. 5 ноября 2019 г. приказом министра науки и высшего образования РФ Михаила Котюкова срок его пребывания в должности был продлен с 6 ноября 2019 г. по 2 ноября 2024 г. 20 июня 2024 г. Александр Безбородов сообщил, что покидает свой пост по собственному желанию. По словам первого проректора РГГУ Ольги Павленко, с 21 июня 2024 г. и. о ректора университета стал Андрей Логинов.
Александр Безбородов - специалист по истории России второй половины ХХ - начала XXI вв. Занимается проблемами формирования научно-технической политики СССР второй половины ХХ в., а также советского военно-промышленного комплекса и российского оборонно-промышленного комплекса. Исследует вопросы зарождения и развития диссидентского движения в СССР.
Автор более 300 научных, научно-методических и научно-популярных работ.
Входит в состав правления центрального совета Российского общества историков-архивистов.
Член российско-австрийской комиссии историков, редакционных коллегий бюллетеня "Вестник архивиста" и издания "Труды Историко-архивного института РГГУ".
Имеет благодарности президента РФ (в 2021 г. объявлена "за большой вклад в подготовку и проведение общественно значимых мероприятий). Награжден памятной медалью "XIX Всемирный фестиваль молодежи и студентов 2017 года в г. Сочи" и грамотой к этой награде, подписанной президентом РФ Владимиром Путиным.
Почетный работник высшего профессионального образования РФ (2012).