Родился 1 декабря 1922 г. в Моршанске (Тамбовская губерния РСФСР, ныне Тамбовская область РФ). С 1925 г. проживал с семьей в Сестрорецке (ныне город в составе Курортного района Санкт-Петербурга).
В 1956 г. Всеволод Бобров окончил Военно-воздушную инженерную академию им. профессора Н. Е. Жуковского (ныне Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил "Военно-воздушная академия им. профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина"), в 1960 г. - Военный институт физической культуры и спорта (ныне Военный институт физической культуры Министерства обороны РФ).
Карьера в хоккее с мячом
В детстве Всеволод Бобров под руководством отца освоил навыки игры в хоккей с мячом и хоккей с шайбой.
В 1940 г. начал играть в хоккей с мячом за команду "Динамо", в ее составе стал чемпионом Ленинграда (ныне Санкт-Петербург).
В 1945 и 1946 гг. в составе московской команды Центрального дома Красной армии (ЦДКА) выигрывал Кубок СССР.
Карьера в футболе
Летом 1941 г. Всеволод Бобров, работавший слесарем-инструментальщиком на заводе "Прогресс", вместе с коллективом предприятия был эвакуирован в Омск. В этом городе трудился сборщиком-механиком в цехе по производству артиллерийских прицелов. Начал играть за заводскую команду в первенстве Омска по футболу, вскоре стал футболистом сборной города, проявил себя как результативный нападающий. В 1943 г. был включен в сборную Сибирского военного округа.
В 1944 г. Всеволод Бобров прибыл в Москву по вызову ЦДКА, был включен в состав его футбольной команды (в 1951-1957 гг. - Центральный дом Советской армии, ЦДСА; в 1957-1960 гг. - Центральный спортивный клуб Министерства обороны, ЦСК МО; с 1960 г. - Центральный спортивный клуб армии, ЦСКА). В 1945 и 1948 гг. в составе ЦДКА Всеволод Бобров становился обладателем Кубка СССР, в 1946-1948 гг. выигрывал чемпионат страны.
Осенью 1945 г. был включен в состав московского клуба "Динамо", проводившего турне по Великобритании. Забил шесть мячей в четырех играх.
В 1950-1952 гг. Всеволод Бобров выступал за столичный клуб ВВС (в 1952 г. был играющим тренером), в 1953 г. провел несколько матчей за московский "Спартак".
В 1952 г. в составе сборной СССР принял участие в футбольном турнире в рамках XV летней Олимпиады в Хельсинки (Финляндия), был капитаном команды. В трех матчах забил пять мячей.
Карьера в хоккее с шайбой
В 1946-1949 гг. Всеволод Бобров выступал за хоккейную команду ЦДКА. В ее составе в 1948 и 1949 гг. выиграл чемпионат СССР.
В 1950-1952 гг. представлял клуб ВВС Московского военного округа (был играющим тренером), вместе с ним в 1951 и 1952 гг. завоевал золото чемпионата страны.
В 1953-1957 гг. Всеволод Бобров выступал в командах ЦДСА и ЦСК МО, в 1955 и 1956 гг. становился чемпионом Советского Союза.
В 1954 г. вместе с советской сборной завоевал золото чемпионата мира в Стокгольме (Швеция).
В 1956 г. Всеволод Бобров в составе сборной СССР участвовал в хоккейном турнире в рамках VII зимних Олимпийских игр в Кортина-д’Ампеццо (Италия), был капитаном команды. В семи матчах забросил девять шайб, что во многом способствовало выигрышу турнира советскими хоккеистами.
В 1957 г. завершил карьеру игрока.
Тренерская деятельность
В 1958-1960 гг. Всеволод Бобров входил в тренерский штаб футбольной команды ЦСКА.
В 1963 г. возглавлял одесский футбольный клуб "Черноморец".
С 1964 по 1967 г. тренировал московский хоккейный клуб "Спартак". В 1967 г. привел его к золоту чемпионата СССР.
В 1967-1969 гг. - старший тренер футбольной команды ЦСКА.
В 1972-1974 гг. Всеволод Бобров возглавлял сборную СССР по хоккею. В 1972 г. руководил командой в Суперсерии между сборными Советского Союза и Канады. Всего в рамках Суперсерии состоялось восемь матчей, по итогам которых канадцы одержали четыре победы, СССР - три, один матч закончился вничью. В 1973 и 1974 гг. приводил советских хоккеистов к победам на чемпионатах мира (состоялись в Москве и Хельсинки соответственно).
В 1975 г. тренировал футбольный клуб "Кайрат" (Алма-Ата), в 1977-1978 гг. - футбольную команду ЦСКА.
Книги
Автор книг "Самый интересный матч" (1963) и "Рыцари спорта" (1971).
Звания, награды
Заслуженный мастер спорта СССР (1948). Заслуженный тренер СССР (1967). Полковник Советской армии (1970).
Всеволод Бобров был награжден орденами "Знак Почета" и Ленина.
Член Зала славы Международной федерации хоккея (1997, посмертно), Зала славы отечественного хоккея (2004, посмертно).
Кончина
Всеволод Бобров скончался 1 июля 1979 г. в Красногорске (Московская обл.) на 57-м году жизни. Похоронен на Кунцевском кладбище в Москве.
Память
Имя Всеволода Боброва носят ледовый дворец в Ступино (Московская обл.) и ледовая арена в Моршанске, улица в Сестрорецке, один из дивизионов Континентальной хоккейной лиги, астероид главного пояса 18321 Bobrov.
В его честь названо судно тылового обеспечения проекта 23120 "Всеволод Бобров", в 2021 г. вошедшее в состав Военно-морского флота России.
Памятники Всеволоду Боброву установлены в Сестрорецке и Моршанске, бюст спортсмена - на Аллее спортивной славы ЦСКА в Москве. На фасаде дома в Москве (Ленинградский проспект, д. 75, корп. 1), где он жил с 1944 по 1979 г., размещена мемориальная доска.
В 2009 г. Банк России выпустил памятную серебряную монету достоинством 2 руб. с портретом спортсмена.
Его жизни и карьере посвящены одноименные книги "Всеволод Бобров" (1984, автор Анатолий Салуцкий; 2000, Анатолий Мурадов; 2018, Михаил Щеглов).