Родился 10 июня 1957 г. в Москве.
Выпускник Государственного центрального института физической культуры (ныне Российский государственный университет физической культуры, спорта, молодежи и туризма, Москва).
Спортивная карьера
В семь лет Андрей Букин начал заниматься фигурным катанием в школе ЦСКА. В десять лет перешел в танцы на льду, где стал тренироваться под руководством Анатолия Петухова.
С 1969 г. занимался в группе Надежды Широковой, его партнершей стала Ольга Абанкина. С 1971 г. они выступали на различных юношеских и взрослых соревнованиях, в 1972 г. заняли третье место на юниорском Кубке дружбы (Бухарест, Румыния). В 1972 г. Андрей Букин и Ольга Абанкина стали серебряными медалистами чемпионата СССР среди юниоров.
В 1977 г. перешел в группу тренера Татьяны Тарасовой и начал выступать вместе с Натальей Бестемьяновой.
Трехкратный чемпион СССР. В 1982 г. вместе с Натальей Бестемьяновой впервые завоевал золотые медали чемпионата СССР. Впоследствии они выигрывали первенство страны в 1983 и 1987 гг.
Пятикратный чемпион Европы. В 1983 г. Андрей Букин и Наталья Бестемьянова одержали победу на чемпионате Европы, проходившем в Дортмунде (ФРГ). В 1985 (Гетеборг, Швеция), 1986 (Копенгаген, Дания), 1987 (Сараево, Югославия) и 1988 гг. (Прага, Чехословакия) они повторяли это достижение.
В 1984 г. Букин и Бестемьянова завоевали серебряные медали XIV зимних Олимпийских игр (Сараево), а в 1988 г. первенствовали на XV зимней Олимпиаде (Калгари, Канада). На церемонии открытия Игр 1988 г. Андрей Букин был знаменосцем сборной СССР.
Четырехкратный чемпион мира. В 1985 г. Андрей Букин и Наталья Бестемьянова впервые выиграли мировое первенство (Токио, Япония). В 1986 (Женева, Швейцария), 1987 (Цинциннати, шт. Огайо, США) и 1988 гг. (Будапешт, Венгрия) они также становились победителями чемпионатов мира.
Деятельность после окончания спортивной карьеры
Завершив любительскую спортивную карьеру, в 1988-1989 гг. Андрей Букин работал в Спорткомитете СССР.
С 1989 г. являлся солистом Театра ледовых миниатюр под руководством Игоря Бобрина, также был тренером-репетитором его труппы.
В 2006 г. вместе с Натальей Бестемьяновой был главным тренером участников телевизионного проекта "Танцы на льду" ("Россия", ныне "Россия-1").
Книга
Андрей Букин в соавторстве с Натальей Бестемьяновой и Игорем Бобриным выпустил книгу "Пара, в которой трое" (2001).
Звания, награды
Заслуженный мастер спорта СССР (1984).
Андрей Букин награжден орденами "Знак Почета" (1984) и Трудового Красного Знамени (1988).
Обладатель приза Жака Фавара "За выдающийся вклад в мировое фигурное катание" (1993).
В 2019 г. введен в Зал славы фигурного катания (Колорадо-Спрингс, шт. Колорадо, США).
Сын
Младший сын - Иван Букин (род. 1993), фигурист, двукратный серебряный призер чемпионата Европы, четырехкратный чемпион России. Выступает в танцах на льду с Александрой Степановой.