Родился 16 июля 1922 г. в селе Аксиньино Московской обл. (ныне в составе Северного административного округа Москвы).
Позже с семьей переехал в столицу, где в 1940 г. поступил на приборостроительный факультет Московского авиационного института им. Серго Орджоникидзе (ныне Московский авиационный институт - Национальный исследовательский университет, МАИ).
Параллельно работал фрезеровщиком на авиамоторном заводе №24 (ныне производственный комплекс "Салют" АО "Объединенная двигателестроительная корпорация").
В 1941-1943 гг., в ходе Великой Отечественной войны, с группой преподавателей и студентов института находился в эвакуации в г. Алма-Ате (Казахская ССР, ныне Казахстан).
После войны вернулся в Москву, в 1947 г. защитил диплом на радиотехническом факультете МАИ и поступил в аспирантуру на кафедре радиотехники этого вуза.
Параллельно занимал должность старшего инженера в 108-м Центральном научно-исследовательском институте (ныне АО "Центральный научно-исследовательский радиотехнический институт им. академика А. И. Берга").
По окончании аспирантуры в 1950 г. был назначен ведущим инженером тематической лаборатории Конструкторского бюро №1 (с 1966 г. - Московское КБ "Стрела", в дальнейшем - Центральное КБ "Алмаз", ОАО "НПО "Алмаз" им. академика А. А. Расплетина, ныне в составе АО "Концерн ВКО "Алмаз-Антей"). Первоначально Борис Бункин работал под руководством Александра Расплетина (1908-1967) над созданием наземных локаторов для первой советской зенитной ракетной системы (ЗРС) С-25 "Беркут", принятой на вооружение в 1955 г. Затем участвовал в разработке мобильного зенитного комплекса С-75 "Двина", принятого на вооружение в 1957 г.
25 июля 1958 г. закрытым указом Президиума Верховного Совета СССР Борису Бункину за заслуги в деле создания специальной техники было присвоено звание Героя Социалистического Труда с вручением ордена Ленина и золотой медали "Серп и Молот".
В конце 1950-х гг. Совет министров СССР принял постановление о создании ЗРС С-200 "Ангара". Ведущий по системе тематический отдел возглавил Борис Бункин, в 1961 г. ставший главным конструктором КБ-1. Под его руководством на предприятии велась модернизация систем С-25 и С-75, было налажено крупносерийное производство новой системы С-125 "Нева", начались работы по созданию двухэшелонной противоракетной системы С-225 "Азов", разрабатывались модификации "Ангары", а также появились проекты по лазерной тематике. В 1967 г. ЗРС С-200 была принята на вооружение Войск ПВО СССР. За ее создание Борис Бункин получил второй орден Ленина.
В апреле 1968 г. Бункин был назначен генеральным конструктором Московского КБ "Стрела". В ноябре того же года был избран членом-корреспондентом Академии наук (АН) СССР.
В дальнейшем руководил процессом по созданию ЗРС С-300 "Фаворит", которая была принята на вооружение в 1978 г. и впоследствии неоднократно модернизировалась. Борис Бункин заложил отправные научно-технические решения для ЗРС С-400 "Триумф". Под его началом впервые была разработана и внедрена система автоматизированного проектирования радиоэлектронной аппаратуры с выпуском технической документации.
В 1998 г. сложил полномочия генерального конструктора "НПО "Алмаз" и стал главным советником - научным руководителем предприятия.
Преподавал на кафедрах Московского физико-технического института и Московского института радиотехники, электроники и автоматики.
Борис Бункин скончался 22 мая 2007 г. на 85-м году жизни в Москве. Похоронен на Троекуровском кладбище.
Имел воинское звание полковника.
Был награжден четырьмя орденами Ленина (1958, 1968, 1975, 1982), орденами Октябрьской Революции (1972), Трудового Красного Знамени (1956), "Знак Почета", а также российскими орденами "За заслуги перед Отечеством" VI степени (2002), Дружбы (1997), другими наградами. Лауреат Ленинской премии (1980), Государственных премий СССР (1970) и РФ (1997). Первый лауреат Золотой медали им. академика А. А. Расплетина АН СССР (1970).
Дважды Герой Социалистического Труда (1958, 1982).
Доктор технических наук (1966, без защиты диссертации), профессор (1971). Академик АН СССР (1974), почетный член (академик) Российской академии ракетных и артиллерийских наук.
Почетный радист (1967).
Автор более 400 научных работ и изобретений.
Брат - Федор Васильевич Бункин (1929-2016), физик, академик РАН.