Родился 25 декабря 1967 г. в Орле.
В 1991 г. окончил авиамеханический факультет Московского авиационно-технического института им. К. Э. Циолковского (ныне в составе Московского авиационного института) по специальности "инженер-механик летательных аппаратов". Прерывал учебу для службы в Вооруженных силах СССР на космодроме Байконур.
После вуза работал инженером-технологом Завода экспериментального машиностроения НПО "Энергия" (г. Королев, Московская обл.).
С 1992 г. занимал руководящие должности на российских металлургических предприятиях, в том числе Нижнетагильском металлургическом комбинате и "Интерурале".
В 2001-2003 гг. был заместителем директора, директором по сбыту и экспорту ООО "Торговый дом Новотроицкая сталь - Орско-Халиловский металлургический комбинат", входившего в состав холдинга ООО "Уральская сталь".
В 2003-2004 гг. - первый заместитель директора по сбыту, в 2004-2005 гг. - заместитель директора по коммерческим вопросам "Уральской стали". Параллельно в 2005 г. был генеральным директором Михайловского горно-обогатительного комбината.
В 2006 г. "Уральская сталь" вошла в холдинг "Металлоинвест" (основные владельцы - Алишер Усманов и Андрей Скоч). В 2006-2008 гг. Андрей Варичев был коммерческим директором ООО "Управляющая компания "Металлоинвест", в 2008-2009 гг. - первым заместителем гендиректора управляющей компании.
С февраля 2009 г. возглавлял холдинг "Металлоинвест". В 2009 г. - в качестве гендиректора ООО "УК "Металлоинвест", в 2009-2014 гг. - как гендиректор ОАО "Холдинговая компания "Металлоинвест". С октября 2013 г. занимал пост генерального директора ООО "Управляющая компания "Металлоинвест".
С 2006 г. был депутатом Курской областной думы IV-VI созывов. Избирался по спискам партии "Единая Россия". В облдуме VI созыва был членом комитета по промышленности, строительству, транспорту и жилищно-коммунальному хозяйству.
Скончался 27 апреля 2020 г. от пневмонии.
Был награжден орденами Почета (2019) и Дружбы (2016).
Был женат. У него осталось двое детей.