Родился 16 июня 1961 г. в гор. Алагир (Северо-Осетинская АССР, ныне Республика Северная Осетия - Алания).
В 1973-1979 гг. занимался в Ленинградском хореографическом училище (ЛХУ; ныне Академия русского балета им. А. Я. Вагановой, Санкт-Петербург), его педагогом был заслуженный деятель искусств РСФСР Юрий Умрихин.
В 1979 г. Махар Вазиев начал выступать на сцене Ленинградского государственного академического театра оперы и балета им. С. М. Кирова (ныне Государственный академический Мариинский театр). С 1986 г. - солист, с 1989 г. - премьер балетной труппы. Исполнил более 20 партий. В их числе: Зигфрид в "Лебедином озере" и Дезире в "Спящей красавице" Петра Чайковского, Джеймс в "Сильфиде" Германа Левенскольда, Альберт в "Жизели" и Али в "Корсаре" Адольфа Адана, Солор в "Баядерке" и Базиль в "Дон Кихоте" Людвига Минкуса, Ферхад в "Легенде о любви" Арифа Меликова.
В 1995-2008 гг. - заведующий балетной труппой Мариинского театра. В период работы Вазиева репертуар театра значительно расширился, в него вошли постановки хореографов XX в.: Джорджа Баланчина, Ханса ван Манена, Джона Ноймайера, Уильяма Форсайта, Харальда Ландера, Кеннета Макмиллана, Пьера Лакотта, Дэвида Доусона. Хореографом Сергеем Вихаревым были представлены обновленные версии спектаклей балетмейстера Мариуса Петипа "Спящая красавица", "Баядерка", "Пробуждение Флоры". В период руководства Вазиева на сцене Мариинского театра осуществили свои постановки молодые российские хореографы Алексей Ратманский, Алексей Мирошниченко и Кирилл Симонов. Получили известность артисты балета Ульяна Лопаткина, Диана Вишнева, Светлана Захарова, Михаил Лобухин, Леонид Сарафанов и др. Труппа Мариинского театра провела ряд гастрольных туров в России и за рубежом.
С 2009 по 2016 г. Махар Вазиев занимал должность директора балетной труппы театра "Ла Скала" (Милан, Италия). Под его руководством были осуществлены постановки балетов "Драгоценности" на музыку Габриеля Форе, Игоря Стравинского и Петра Чайковского, "Сон в летнюю ночь" на музыку Феликса Мендельсона-Бартольди, "Опера" на музыку Леонида Десятникова, реконструкции балетов "Раймонда" Александра Глазунова и "Спящая красавица" Петра Чайковского.
С 18 марта 2016 г. Махар Вазиев занимает должность руководителя балетной труппы Государственного академического Большого театра России.
Народный артист РФ (2021).
Лауреат премии "Душа танца" (учреждена журналом "Балет" и Министерством культуры РФ) в номинации "Рыцарь танца" (2002).
Женат. Супруга - народная артистка РСФСР Ольга Ченчикова (род. 1956, в прошлом - прима-балерина Мариинского театра, ныне балетмейстер-репетитор Большого театра). Дочь - Мария (род. 1989).