Родился 24 ноября 1952 г. в д. Байкалово Приморского района Архангельской области в семье рыбаков.
В 1972 г. окончил Архангельское мореходное училище, получив специальность техника-судомеханика. В 1978 г. заочно получил образование в Ленинградском высшем инженерном морском училище им. адмирала С. О. Макарова. В 1988 г. окончил Ленинградскую высшую партийную школу, в 1995 г. - Дипломатическую академию МИД РФ.
Кандидат юридических наук. В 1997 г. в Дипломатической академии МИД России защитил диссертацию на тему "Избирательные стандарты в международном праве и их реализация в законодательстве Российской Федерации".
В 1973-1979 гг. Александр Вешняков работал мотористом, механиком на судах Северного морского пароходства (СМП).
В 1979 г. был избран заместителем секретаря комитета комсомола СМП, затем работал старшим инспектором отдела организации работы с моряками загранплавания пароходства.
С 1983 г. - заместитель секретаря партийного комитета Коммунистической партии Советского Союза (КПСС) СМП.
В 1985-1987 гг. - секретарь парткома Северного речного пароходства.
С 1987 по 1990 г. – секретарь по идеологии Архангельского горкома КПСС. Избирался депутатом Архангельского городского Совета народных депутатов.
В 1990-1993 гг. – народный депутат РСФСР/РФ, был избран по Ломоносовскому избирательному округу №266 (Архангельская область). С июня 1990 г. по август 1991 г. занимал пост заместителя председателя Совета республики Верховного совета РСФСР. Позднее был членом комиссии Верховного совета по транспорту, связи и информатике.
Оставался членом КПСС до августа 1991 г.
С ноября 1993 г. по март 1994 г. - экономический советник департамента морского транспорта Министерства транспорта РФ.
С марта 1994 г. Александр Вешняков работал в аппарате Центральной избирательной комиссии РФ (Центризбирком, ЦИК).
23 декабря 1994 г. решением Государственной думой РФ был назначен членом Центризбиркома. 10 февраля 1999 г. и 14 марта 2003 г. Госдума включала его в новые составы ЦИК.
С 21 марта 1995 г. Александр Вешняков был секретарем Центризбиркома РФ.
С 24 марта 1999 г. по 27 марта 2007 г. - председатель ЦИК России (переизбирался 26 марта 2003 г.). Под его руководством ЦИК провел досрочные выборы президента РФ в 2000 г. и очередные президентские выборы в 2004 г., а также кампании по выборам депутатов Госдумы РФ в 1999 и 2003 гг. В октябре 2004 г. как глава ЦИК поддержал предложение президента РФ Владимира Путина об отмене прямых губернаторских выборов.
С 11 января 2008 г. по 15 декабря 2016 г. - чрезвычайный и полномочный посол РФ в Латвии.
Возглавлял исполнительный совет Ассоциации организаторов выборов стран Центральной и Восточной Европы (2002-2004).
Имеет дипломатический ранг чрезвычайного и полномочного посла (2009).
Награжден орденами Почета (2012), "За заслуги перед Отечеством" II и III степеней (2007, 2004).