Родился 15 мая 1932 г. в гор. Добруш Гомельской области Белорусский ССР (ныне Республика Белоруссия) в семье учителей. В начале 1941 г. переехал с родителями в приграничный г. Белосток (в 1939-1941 гг. - БССР, ныне Польша). 22 июня 1941 г., сразу после начала Великой Отечественной войны, Аркадия Вольского успели эвакуировать на восток. Мать присоединилась к партизанам, отец попал рядовым в действующую армию. Аркадий Вольский четыре года прожил в детском доме в г. Хвалынске (Саратовская обл.), после чего был разыскан родителями, пережившими войну.
После войны Аркадий Вольский жил в г. Брянске, затем в г. Лиде (Гродненская обл., БССР, ныне Белоруссия). В школьные и студенческие годы увлекался фехтованием и боксом.
В 1955 г. окончил металлургический факультет Московского института стали и сплавов (ныне Национальный исследовательский технологический университет "МИСиС").
Член КПСС с 1959 г.
В 1955-1969 гг. Аркадий Вольский работал на Московском автозаводе им. Лихачева (ЗИЛ). Последовательно занимал должности помощника мастера, мастера, начальника литейного цеха, начальника литейного производства, секретаря партийного комитета предприятия.
В 1969 г. был переведен в центральный аппарат ЦК КПСС, был руководителем сектора автомобильной промышленности отдела машиностроения. Непосредственно курировал запуск производства на Волжском (г. Тольятти, Самарская обл., ныне "Автоваз") и Камском (г. Набережные Челны, Татарская АССР, ныне "Камаз", Татарстан) автомобильных заводах.
В 1983-1985 гг. был помощник по экономике генеральных секретарей ЦК КПСС Юрия Андропова и Константина Черненко.
В 1985-1990 гг. возглавлял отдел машиностроения ЦК КПСС. В 1986 г. лично участвовал в ликвидации последствий аварии на Чернобыльской АЭС.
В 1986-1991 гг. был членом ЦК КПСС. В 1984-1986 гг. - депутат Верховного совета РСФСР, в 1976-1989 гг. - депутат Верховного совета СССР.
В 1988 г. генеральный секретарь ЦК КПСС Михаил Горбачев направил Аркадия Вольского представителем ЦК в Нагорный Карабах, где он возглавил Комитет особого управления Нагорно-Карабахской автономной областью Азербайджанской ССР, на время работы которого в регионе были приостановлены полномочия прочих партийных и государственных органов. В 1989 г. от Степанакертского округа был избран народным депутатом СССР, но в конце того же года Комитет был распущен. Урегулировать межэтнический конфликт комитету под руководством Вольского не удалось, в январе 1990 г. в Нагорном Карабахе начались полномасштабные вооруженные столкновения.
В 1990 г. Аркадий Вольский совместно с академиком Евгением Велиховым создал Научно-промышленный союз, 16 июня 1990 г. был избран его президентом. В 1991 г. организация была переименована в Российский союз промышленников и предпринимателей (РСПП). Аркадий Вольский занимал пост главы РСПП до 2005 г., после чего его сменил Александр Шохин.
После августовского путча 1991 г. в сентябре - декабре 1991 г. Аркадий Вольский вместе с Юрием Лужковым и Григорием Явлинским был заместителем руководителя Комитета по оперативному управлению народного хозяйства СССР - органа, временного заменявшего правительство СССР. Отвечал за промышленность, оборонный комплекс, строительство, транспорт и связь. Комитет возглавлял Иван Силаев.
В июле 1991 г. выступил вместе с Эдуардом Шеварднадзе, Александром Яковлевым и Александром Руцким в качестве одного из основателей Движения демократических реформ.
В сентябре - декабре 1991 г. Аркадий Вольский был членом Политико-консультативного совета при президенте СССР Михаиле Горбачеве.
В 1993 г. Аркадий Вольский был председателем комиссии по политической стабильности Общественной палаты при президенте РФ.
Баллотировался на выборах в Госдуму РФ I и II созывов. В декабре 1993 г. возглавлял список блока "Гражданский союз во имя стабильности, справедливости и порядка", в декабре 1995 г. - был третьим после Владимира Щербакова и Михаила Шмакова в списке блока "Профсоюзы - Промышленники России - Союз труда". Оба раза эти объединения не преодолели избирательный барьер.
В июне 1995 г. Аркадий Вольский вел переговоры с чеченским террористом Шамилем Басаевым по освобождению, захваченных его группой заложников в г. Буденновске (Ставропольский край). В июле 1995 г. Вольский был назначен заместителем руководителя делегации по мирному разрешению конфликта в Чечне (делегацию возглавлял министр РФ по делам национальностей и региональной политике Вячеслав Михайлов).
Умер 9 сентября 2006 г. на 75-м году жизни. Похоронен на Новодевичьем кладбище столицы.
Был награжден орденом Октябрьской революции, тремя орденами Трудового Красного Знамени, "За заслуги перед Отечеством" II и III степеней (2006, 2002), украинским орденом "За заслуги" III степени (2002), белорусским орденом почета (2002).
Лауреат Государственной премии СССР в области техники 1971 г.
Был женат, у него остались сын и дочь.