Родился 1 ноября 1928 г. в Москве. Его отец в годы Гражданской войны был членом политотдела в частях Красной армии, затем работал врачом. Мать была биологом, научным сотрудником в Институте питания. В 1936 г. родители были репрессированы как члены троцкистской оппозиции: отец был расстрелян, мать осуждена на десять лет лишения свободы.
В 1953 г. Андрей Воробьев с отличием окончил 1-й Московский медицинский институт (ныне - Первый Московский государственный медицинский университет им. И. М. Сеченова).
В 1968 г. в 1-м Московском мединституте защитил докторскую диссертацию "Опухолевая прогрессия и некоторые вопросы патогенеза лейкозов".
Имел ученое звание профессора (1969).
В 1984 г. был избран членом-корреспондентом, в 1987 г. – действительным членом Академии медицинских наук СССР. С 2000 г. – академик Российской академии наук (РАН).
После окончания вуза работал в районной больнице г. Волоколамска Московской области, где был участковым терапевтом, патологоанатомом, заведовал поликлиникой, отвечал за районную педиатрию и детскую комнату родильного дома.
В 1956-1966 гг. – клинический ординатор, ассистент, доцент кафедры терапии Центрального института усовершенствования врачей (ныне Российская медицинская академия последипломного образования), которую возглавлял один из основоположников отечественной гематологии академик Иосиф Кассирский (1898-1971).
В 1966-1974 гг. руководил клиническим отделом Института биофизики Министерства здравоохранения СССР.
С 1971 по 2018 г. – заведующий кафедрой гематологии (позднее - гематологии и интенсивной терапии) Центрального института усовершенствования врачей.
С 1987 г. был директором Всесоюзного гематологического научного центра Министерства здравоохранения СССР (ныне – Национальный медицинский исследовательский центр гематологии). Занимал эту должность до 2011 г.
В 1989-1991 гг. - народный депутат СССР. Был избран от Академии медицинских наук и научных медицинских обществ. Входил в оппозиционную союзному руководству Межрегиональную депутатскую группу (сопредседатели Борис Ельцин, Юрий Афанасьев, Гавриил Попов, Андрей Сахаров и др.), однако активного участия в ее работе не принимал.
С 14 ноября 1991 г. по 23 октября 1992 г. занимал пост министра здравоохранения РСФСР/РФ в правительствах Бориса Ельцина и Егора Гайдара. В 1992 г. Андрей Воробьев добился принятия указа президента РФ о финансировании отдельной строкой бюджета особо дорогостоящих видов медицинской помощи, также способствовал сохранению отечественной системы здравоохранения, научных кадров и приоритетных научных направлений и центров.
С 2011 г. руководил лабораторией функциональной морфологии гемобластозов, был главным научным сотрудником Центра теоретических проблем физико-химической фармакологии РАН.
Андрей Воробьев являлся специалистом в области клинической физиологии крови (гематологии), радиационной медицины. Он предложил гипотезу о возрастных пластах стволовых клеток, в т. ч. кроветворных, определяющих особенности гемопоэза (кроветворения) и его патологии в разные возрастные периоды жизни человека. Сформулировал представление о клоновой природе лейкозов. Первым ввел в гематологию понятия об опухолевой прогрессии и качественной изменчивости гемобластозов. Воробьев впервые описал особенности электрокардиограмм и клиники дисгормональных кардиопатий, что позволило дифференцировать их с инфарктом миокарда. Внес значительный вклад в изучение патогенеза острой лучевой болезни и создание системы биологической дозиметрии при лучевых воздействиях.
15 июня 2020 г. Андрей Воробьев скончался в Москве на 92-м году жизни.
Являлся главным редактором журнала "Гематология и трансфузиология", членом редколлегий журналов "Терапевтический архив" и "Проблемы гематологии и переливания крови".
Был награжден орденами Ленина (1988), "За заслуги перед Отечеством" III степени (1998). Отмечен Почетной грамотой правительства РФ (2003), благодарностью президента РФ (2008).
Лауреат Государственной премии СССР 1987 г.
Заслуженный деятель науки РФ (2004).
Андрей Воробьев являлся автором и соавтором около 400 научных работ (в т. ч. монографий, учебников и учебных пособий) по кардиологии, теоретической и клинической гематологии. Среди них "Генетика в гематологии" (1967), "Руководство по медицинским вопросам противорадиационной защиты" (1975), "Патогенез и терапия лейкозов" (1976), "До и после Чернобыля: Взгляд врача" (1996), "Кардиалгии" (1998), "Острая массивная кровопотеря" (2001), "Руководство по гематологии" в 2-х томах (2002, 2003) и др.
Был женат. Старший сын, Иван Андреевич (род. 1953), профессор, доктор биологических наук, ученый-цитолог. Младший сын - Павел Андреевич (род. 1958), доктор медицинских наук, профессор.