Родился 24 октября 1897 г. (12 октября 1897 г. по старому стилю) в гор. Таганроге Области войска Донского Российской империи (ныне в Ростовской обл. РФ) в семье рабочего.
В 1912 г. окончил ремесленно-техническую школу в родном городе. После этого работал подмастерьем слесаря и слесарем в механической мастерской, затем помощником паровозного машиниста в депо станции Таганрог.
В апреле 1917 г. был призван на службу в Русскую императорскую армию с зачислением в местный 274-й запасной пехотный полк. Дослужился до звания младшего унтер-офицера. В октябре того же года был демобилизован в связи с роспуском армии и вернулся к работе на железной дороге. Во время оккупации Таганрога германскими войсками бежал на подконтрольную Советской власти территорию. В августе 1918 г. добровольцем вступил в ряды Рабоче-крестьянской Красной армии (РККА).
В период Гражданской войны 1917-1922 гг. Кузьма Галицкий командовал взводом и ротой 9-го Советского Украинского полка 2-й повстанческой Советской дивизии Украинского фронта. Затем был назначен командиром батальона 1-го ударного полка 7-й Заднепровской Украинской стрелковой дивизии на Южном фронте. Сражался против войск генерала Антона Деникина в районах Купянска (ныне Харьковская обл., Украина) и станции Иловайская (ныне ДНР), был тяжело ранен. После госпиталя служил на железной дороге в частях особого назначения Таганрогского района. В июле 1920 г. стал командиром батальона 397-го стрелкового полка 45-й стрелковой дивизии, в составе которого участвовал в боях на Юго-Западном фронте.
В 1921 г. Кузьма Галицкий был направлен на учебу в Высшую тактическую стрелковую школу им. III Коминтерна. По окончании школы в 1922 г. был назначен командиром батальона 67-го стрелкового полка в 23-й стрелковой дивизии Харьковского военного округа (ВО), а позже стал помощником командира этого полка.
В 1927 г. окончил Военную академию им. М. В. Фрунзе (ныне Военный учебно-научный центр Сухопутных войск "Общевойсковая академия Вооруженных сил РФ") и возглавил штаб 1-го стрелкового полка Московской Пролетарской стрелковой дивизии. С 1928 г. вел научную деятельность: был начальником научно-редакционной части академии, затем ее адъюнктом.
С 1931 г. служил на командных и штабных должностях в различных стрелковых частях.
В июле 1938 г., будучи командиром 90-й стрелковой дивизии Ленинградского ВО, Кузьма Галицкий был арестован органами Народного комиссариата внутренних дел (НКВД) СССР по сфабрикованному обвинению и несколько месяцев провел под следствием. В мае 1939 г. был освобожден и восстановлен в РККА в связи с прекращением уголовного преследования.
В декабре того же года был направлен на фронт Советско-финляндской войны 1939-1940 гг., где занял должность командира 24-й Самаро-Ульяновской Железной стрелковой дивизии вместо убитого в бою комбрига Петра Вещева. После войны дивизия Галицкого была передислоцирована в Западный Особый ВО.
В начале Великой Отечественной войны 1941-1945 гг. это соединение в составе войск Западного фронта участвовало в оборонительных боях под Минском (Белорусская ССР, ныне Белоруссия), но вскоре попало в окружение и некоторое время действовало в тылу противника. В июле 1941 г. дивизия прорвала кольцо и соединилась с советскими войсками, однако в связи с утратой боевого знамени впоследствии была расформирована.
19 июля 1941 г. генерал-майор Кузьма Галицкий был назначен командиром 67-го стрелкового корпуса 21-й армии Центрального фронта. В ходе Смоленского сражения получил тяжелое ранение и длительное время лечился в тыловом госпитале. В январе 1942 г. вернулся в действующую армию в качестве заместителя командующего 1-й ударной армией на Западном и Северо-Западном фронтах, однако через несколько дней снова был ранен и эвакуирован в тыл.
В августе 1942 г. был назначен командующим 1-й резервной армией, дислоцировавшейся в Тамбове. В сентябре того же года стал командующим 3-й ударной армией на Калининском и Северо-Западном фронтах, отличившейся в Великолукской и Невельской наступательных операциях.
С 26 ноября 1943 г. и до конца войны Кузьма Галицкий командовал 11-й гвардейской армией на 2-м Прибалтийском и 3-м Белорусском фронтах. Войска под его руководством участвовали в Городокской, Белорусской, Гумбиннен-Гольдапской операциях. В боях за Восточную Пруссию армия Галицкого прорвала глубокоэшелонированную оборону противника и взяла штурмом г. Инстербург (ныне Черняховск, Калининградская обл.). В апреле 1945 г. части армии штурмовали сначала г. Кёнигсберг (ныне Калининград), а затем г. Пиллау (ныне Балтийск, Калининградская обл.).
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 19 апреля 1945 г. генерал-полковнику Кузьме Галицкому было присвоено звание Героя Советского Союза с вручением ордена Ленина и медали "Золотая Звезда" ("за умелое командование армией при штурме Кенигсберга и проявленные при этом личное мужество и героизм").
После войны Кузьма Галицкий командовал войсками Особого ВО на территории бывшей Восточной Пруссии (1945-1946 гг.), 11-й гвардейской армией Прибалтийского ВО (март - октябрь 1946), войсками Прикарпатского (1946-1951) и Одесского (1951-1954) военных округов.
В 1954 г. был переведен в Москву на должность командующего войсками Московского района ПВО. В 1955-1958 гг. командовал Северной группой войск на территории Польской Народной Республики (ныне Республика Польша). В 1958-1961 гг. занимал пост командующего Закавказским ВО.
В январе 1962 г. в звании генерала армии вышел в отставку.
Был председателем военно-научного общества при Центральном доме Советской Армии.
Кузьма Галицкий скончался 14 марта 1973 г. на 76-м году жизни. Похоронен на Новодевичьем кладбище в Москве.
В 1947-1955 гг. избирался депутатом Верховного Совета Украинской ССР. В 1946-1962 гг. - депутатом Верховного Совета СССР.
Генерал армии (1955).
Был награжден четырьмя орденами Ленина (тремя в 1945, четвертым в 1957), четырьмя орденами Красного Знамени (1940, 1942, 1944, 1949), орденом Суворова I-й степени (1943), орденом Кутузова I-й степени (1943), орденом Богдана Хмельницкого I-й степени (1944), орденом Красной Звезды (1968), медалями, а также иностранными наградами.
Автор статьи "Нашу победу ковал народ" в сборнике "Штурм Кёнигсберга" (1959), а также мемуаров "В боях за Восточную Пруссию. Записки командующего 11-й гвардейской армией" (1970) и "Годы суровых испытаний. 1941-1944" (1973).