Родился 14 августа 1967 г. в курортном поселке Лазаревское (ныне - район г. Сочи) Краснодарского края. Отец, Николай Геворкович Арутюнян (род. 1942) работал в администрации г. Сочи.
До начала 1990-х гг. носил фамилию родителей - Арутюнян, затем взял фамилию жены. В интервью в 2013 г. говорил, что гордится армянскими корнями, но "на 75%" является русским и армянского языка не знает.
В 1993 г. окончил факультет экономики Кубанского государственного университета по специальности "финансы и кредит".
В 1985-1987 гг. проходил срочную службу в Вооруженных силах СССР.
Во время учебы в вузе был принят на работу в один коммерческих банков Краснодара, вскоре стал заместителем управляющего. В 1994 г. покинул банк, впоследствии называл его "меняльной конторой".
В 1994 г. вместе с однокурсниками основал компанию "Трансазия", занявшуюся оптовыми поставками в Россию парфюмерной продукции. Вскоре компания получила статус официального регионального дистрибьютора компании Procter & Gamble ("Проктер энд гэмбл").
В июле 1995 г. вместе с партнером Алексеем Богачевым основал новую фирму "Тандер" (ныне - акционерное общество, АО "Тандер") и стал ее генеральным директором. Первоначально компания занималась оптовыми поставками парфюмерии (за исключением продукции Procter & Gamble) в южных регионах России. В 1998 г. фирма открыла первый розничный супермаркет "Магнит" в Краснодаре. Впоследствии были созданы магазины в других городах, в основном, на юге России. Сергей Галицкий избегал конкуренции с крупными розничными сетями, развивая бизнес в небольших городах и позиционируя свои торговые точки как магазины у дома с низкими ценами. В начале 2000-х гг. они были объединены в торговую сеть "Магнит".
В 2003 г. Сергей Галицкий зарегистрировал ОАО "Магнит" (ныне - ПАО), которое получило 100% акций ЗАО "Тандер". В 2006 г. стал генеральным директором "Магнита", а с 2010 г. - также председателем правления. К 2018 г. оставался крупнейшим владельцем акций компании (35,1%). В 2015 г., по версии аналитической компании "Инфолайн", "Магнит" стал самой крупной по выручке в России розничной компанией, опережающей X5 Retail Group ("Икс-5 ритейл груп") и "Ашан". Совокупная выручка ПАО "Магнит" и АО "Тандер" по итогам 2017 г. составила 1 трлн 632 млрд руб.
Во второй половине 2000-х гг. создал в Краснодаре ряд других коммерческих проектов, в том числе рекламное агентство "Арт сайд", продуктовую фабрику "Арт Сайд", развлекательный комплекс "Квартал".
В 2008 г. основал футбольный клуб "Краснодар", который с 2011 г. выступает в Российской футбольной премьер-лиге. Владеет напрямую 66,7% акций клуба. По итогам сезона 2018/2019 гг. команда занял 3-е место. Галицкий выделяет основные средства на функционировании команды, он же построил для нее стадион ФК "Краснодар" (наивысшей категории УЕФА, открыт в 2016 г.). С 2009 г. является президентом клуба.
С 2015 г. - член наблюдательного совета, старший независимый директор ПАО "Банк ВТБ".
16 февраля 2018 г. на Российском инвестиционном форуме в Сочи Сергей Галицкий заключил с ВТБ соглашение о продаже банку контрольного пакета "Магнита" - 29,1% акций - за 138 млрд руб., на следующий день покинул руководящие посты в компании. У него осталось около 3% акций "Магнита". После продажи бизнеса он сосредоточился на управлении футбольным клубом "Краснодар".
Главы комитета детско-юношеского футбола Российского футбольного союза (2019 - н. в. )
В 2007 г. был впервые включен в список миллиардеров мира по версии американского журнала Forbes, тогда его состояние было оценено в 1,7 млрд долларов США. В 2009 г., из-за последствий мирового финансового кризиса, выбыл из рейтинга, но уже в следующем году в него вернулся. Наивысшая позиция - 117-е место в мире (10,3 млрд долларов). По состоянию на 16 января 2020 г. его состояние оценивалось в 3,4 млрд долларов (617-е в мире, 34-е - в России).
Владеет 104-метровой океанской яхтой Quantum Blue ("Квантум блю") и личным бизнес-джетом Bombardier CL-600 ("Бомбардье си-эл-600") с регистрационным номером G-LTSK.
Отмечен Почетной грамотой президента РФ (2017).
Герой труда Кубани (2011).
В детстве увлекался футболом, но бросил им заниматься в 14 лет. Занимался игрой в шахматы, получил степень кандидата в мастера спорта.