Родился 28 августа 1999 г. в г. Березники (Пермская область, ныне Пермский край).
Студент Национального государственного университета физической культуры, спорта и здоровья им. П. Ф. Лесгафта (Санкт-Петербург).
В пять лет Александр Галлямов начал заниматься одиночным фигурным катанием в Екатеринбурге в спортшколе "Юность". Его первым тренером была Наталья Карелина.
В девять лет переехал с семьей в Санкт-Петербург, где продолжил занятия одиночным фигурным катанием. В разное время его наставниками были Кирилл Давыденко, Евгений Рукавицын и Алина Писаренко.
В 2014 г. Александр Галлямов перешел в парное катание к тренерам Николаю и Людмиле Великовым. В сезоне 2015/2016 гг. его партнершей по выступлениям была Александра Полищук, в сезоне 2016/2017 гг. — Ника Осипова.
С сезона 2017/2018 гг. Александр Галлямов выступал в парном катании вместе с Анастасией Мишиной под руководством Николая и Людмилы Великовых.
В январе 2018 г. в Саранске заняли второе место на юниорском чемпионате России. В марте того же года в Софии (Болгария) завоевали бронзу на юниорском первенстве мира.
В феврале 2019 г. в Перми выиграли юниорское первенство России. В марте того же года в Загребе (Хорватия) стали чемпионами мира среди юниоров.
С сезона 2020/2021 гг. наставницей пары является заслуженный тренер СССР Тамара Москвина.
В марте 2021 г. в Стокгольме (Швеция) Анастасия Мишина и Александр Галлямов стали чемпионами мира. В апреле того же года в Осаке (Япония) в составе сборной России заняли первое место на командном чемпионате мира.
В декабре 2021 г. в Санкт-Петербурге одержали победу на чемпионате России.
В январе 2022 г. в Таллине завоевали золото чемпионата Европы.
7 февраля 2022 г. стали чемпионами XXIV зимней Олимпиады в Пекине (Китай) в командном турнире. 19 февраля заняли на Играх третье место в парном катании.
Заслуженный мастер спорта РФ (2021).
Награжден орденом Дружбы (2022).