Родился 8 сентября 1920 г. в Москве в семье Константина Александровича и Марии Георгиевны Граве. Его отец был юристом, у матери было медицинское образование.
В школьные годы Александр Граве участвовал в художественной самодеятельности.
В 1942 г. окончил Театральное училище им. Б. В. Щукина (ныне Театральный институт им. Бориса Щукина при Государственном академическом театре им. Евгения Вахтангова). Выпускник курса педагога Анны Орочко.
В 1942 г. окончил Театральное училище им. Б. В. Щукина (ныне Театральный институт им. Бориса Щукина при Государственном академическом театре им. Евгения Вахтангова). Выпускник курса педагога Анны Орочко.
В 1942 г. Александр Граве был принят в Театр им. Вахтангова. В годы Великой Отечественной войны выступал в составе его фронтового филиала при политуправлении 1-го Украинского фронта. Участвовал вместе наравне с обычными бойцами в форсировании Днепра, Победу встретил в Берлине.
На протяжении всей сценической карьеры Александр Граве был актером Театра им. Вахтангова. Участвовал в спектаклях: "Фронт" по пьесе Александра Корнейчука, "Сирано де Бержерак" по произведению Эдмона Ростана, "Молодая гвардия" по роману Александра Фадеева, "Гамлет" по трагедии Уильяма Шекспира, "Живой труп" по пьесе Льва Толстого, "Принцесса Турандот" по сказке Карло Гоцци, "Мещанин во дворянстве" по комедии Мольера, "Собака на сене" по произведению Лопе де Веги, "Чайка" по пьесе Антона Чехова. В общей сложности сыграл около 150 театральных ролей.
Александр Граве снимался в кино. Среди картин с его участием: "Беспокойное хозяйство" (1946, режиссер Михаил Жаров), "Хроника пикирующего бомбардировщика" по повести Владимира Кунина (1967, Наум Бирман), "Моя судьба" по пьесе Георгия Мдивани "Твой дядя Миша" (1974, Леонид Пчелкин), "Конец операции "Резидент" (1986, Вениамин Дорман). Фильмография актера насчитывает свыше 50 ролей в фильмах и сериалах.
Принимал участие в озвучивании анимационных фильмов. В их числе: "Портрет" (1965, режиссер Роман Качанов), "Песенка мышонка" (1967, Юрий Прытков), "Жихарка" (1977, Наталия Голованова), "Мой приятель светофор" (1978, Фаина Епифанова).
Александр Граве преподавал актерское мастерство в Театральном институте им. Б. В. Щукина. В 1998 г. стал профессором вуза.
Александр Граве скончался 5 марта 2010 г. в Москве на 90-м году жизни. Похоронен на Алексеевском кладбище.
Народный артист РСФСР (1971).
Был награжден орденами Красной Звезды (1945), Отечественной войны II степени (1995), Почета (1995).
Был дважды женат. Первая супруга - актриса Дарья Пешкова (род. 1927, внучка писателя Максима Горького). Сын - Максим Пешков (род. 1950, дипломат), дочь - Екатерина Пешкова (род. 1954, актриса). Вторая жена - Татьяна Дмитриевна. Сын - Михаил.