Родился 15 июля 1982 г. в городе Мыски Кемеровской области.
В 2002 г. с отличием окончил Иркутский военный авиационный инженерный институт (в 2009 г. вуз был расформирован) по специальности "техническая эксплуатация транспортного радиоэлектронного оборудования" с присвоением квалификации техника. В 2011 г. - Московский технический университет связи и информатики по специальности "радиосвязь, радиовещание и телевидение".
С 2002 г. проходил военную службу в Военно-воздушных силах (ВВС) РФ. Служил на аэродроме Кубинка (Московская обл.) в качестве техника расчета подготовки самолетов к полетам по радиоэлектронно-информационному обеспечению, а затем инженера пилотажной группы "Стрижи". В 2009-2018 гг. был инженером, начальником группы регламента и ремонта, а затем начальником группы в различных воинских частях, дислоцированных в Московской области.
10 августа 2018 г. Александр Гребенкин был отобран в отряд космонавтов Роскосмоса в рамках второго открытого конкурса. 6 ноября того же года назначен на должность кандидата в космонавты-испытатели. Прошел обучающий курс в Центре подготовке космонавтов им. Ю. А. Гагарина (Звездный городок, Московская обл.). 2 декабря 2020 г. получил квалификацию "космонавт-испытатель".
С 11 января 2021 г. является космонавтом-испытателем отряда Роскосмоса.
В марте 2023 г. решением российской межведомственной комиссии Александр Гребенкин был включен в экипаж американского корабля Crew Dragon в рамках соглашения о перекрестных полетах между Роскосмосом и Национальным управлением США по аэронавтике и исследованию космического пространства (NASA, НАСА), которое было подписано в июле 2022 г. В августе 2023 г. НАСА утвердило его членом экипажа рабочей миссии Crew-8 на Международную космическую станцию (МКС).
4 марта 2024 г. (06:53 мск) Александр Гребенкин стартовал на Crew Dragon к МКС в составе миссии Crew-8 вместе с американцами Майклом Барраттом, Мэттью Домиником и Джанетт Эппс. Стыковка корабля с орбитальной станцией состоялась на следующий день, 5 марта. Гребенкин будет работать бортинженером в составе экспедиции МКС-70/71 по российской программе. Он стал 24-м российским космонавтом, летавшим на американском космическом корабле, в том числе 4-м - на Crew Dragon, а также 6-м участником программы перекрестных полетов Роскосмоса и НАСА.