Родился 29 августа 1937 г. в гор. Владивостоке.
В 1959 г. окончил Тихоокеанское высшее военно-морское училище им. С. О. Макарова в родном городе. В 1977 г. - академические курсы при Военно-морской академии им. Маршала Советского Союза А. А. Гречко (ныне Военный институт дополнительного профессионального образования в составе Военного учебно-научного центра ВМФ "Военно-морская академия им. Адмирала Флота Советского Союза Н. Г. Кузнецова", Санкт-Петербург, ВМА). В 1983 г. стал выпускником ВМА. В 1991 г. экстерном окончил в Москве Военную академию Генерального штаба Вооруженных сил РФ (Москва).
После училища был распределен на Тихоокеанский флот (ТОФ) и назначен помощником командира батареи. В 1960-1961 гг. проходил службу в Ракетных войсках стратегического назначения. Затем был возвращен на флот, где впоследствии занимал различные корабельные должности на эсминцах и крейсерах ТОФ. С 1970 г. являлся старшим помощником командира крейсера "Адмирал Сенявин". В 1972 г. стал командиром крейсера "Дмитрий Пожарский", а с 1975 г. командовал крейсером "Адмирал Сенявин".
В 1977 г. был назначен начальником штаба 4-й учебной дивизии кораблей Ленинградской военно-морской базы. В 1981 г. стал начальником штаба, а затем командиром 8-й оперативной эскадры ТОФ.
В 1984 г. получил назначение на должность начальника штаба - первого заместителя командующего Северным флотом (СФ), с 1988 г. - командующий СФ.
Весной 1992 г. был переведен в Москву и назначен первым заместителем командующего Военно-морским флотом (ВМФ) Объединенных вооруженных сил СНГ. Однако уже в марте того же года Феликс Громов стал первым заместителем командующего, а в августе - главнокомандующим ВМФ.
В 1993 г. был включен в состав делегации РФ для переговоров с Украиной о Черноморском флоте, которые проходили в Крыму.
Феликс Громов занимал пост главнокомандующего ВМФ в период, когда государственное финансирование не могло в полной мере обеспечить потребностей флота. При этом военачальнику удалось сохранить боевое ядро ВМФ и начать строительство новых кораблей.
7 ноября 1997 г. был уволен в запас по достижении предельного возраста.
С 2008 г. был главным инспектором (генеральным инспектором) Управления генеральных инспекторов Минобороны РФ.
Феликс Громов скончался 22 января 2021 г. на 84-м году жизни на своей даче под Москвой. Похоронен на территории Федерального военного мемориала "Пантеон защитников Отечества" Министерства обороны РФ (Московская обл.).
Являлся председателем совета Старейшин региональной общественной организации "Клуб адмиралов ВМФ России".
Адмирал флота (1996).
Награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" IV степени, "За военные заслуги" (1996), Октябрьской Революции, "За службу Родине в Вооружённых Силах СССР" II и III степени, медалями.