Родился 29 октября 1948 г. в Москве. Отец - Джермен Михайлович Гвишиани (1928-2003), социолог, академик, основатель и первый директор Института системного анализа Российской академии наук (РАН). Мать - Людмила Алексеевна Гвишиани-Косыгина (1928-1990), дочь советского партийного и государственного деятеля, председателя Совета министров СССР Алексея Косыгина, возглавляла Всесоюзную государственную библиотеку иностранной литературы.
Образование, ученые степени
В 1971 г. Алексей Гвишиани окончил механико-математический факультет Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова по специальности "математик". В 1971-1974 гг. - аспирант того же факультета МГУ, одним из его руководителей был математик, в то время член-корреспондент Академии наук СССР Израиль Гельфанд.
Доктор физико-математических наук. В 1974 г. в МГУ защитил кандидатскую диссертацию на тему "Некоторые вопросы теории представлений группы SL (2) над локальным неархимедовым полем". В 1984 г. в Институте физики Земли им. О. Ю. Шмидта Академии наук СССР - докторскую диссертацию на тему "Математические вопросы классификации и проблема обоснования прогноза мест сильных землетрясений".
В 2006 г. избран членом-корреспондентом, в 2011 г. - академиком Российской академии наук.
Научная и преподавательская деятельность
После окончания МГУ остался в университете. В 1971-1974 гг. был ассистентом кафедры математического анализа. С 1974 по 1988 г. - ассистент, затем доцент, с 1989 по 2000 г. - профессор кафедры теории функций и функционального анализа.
Одновременно с 1975 г. начал работать в Институте физики Земли им. О. Ю. Шмидта АН СССР (с 1993 г. - Объединенный институт физики Земли, ОИФЗ, им. О. Ю. Шмидта, с 2004 г. по н. в. - ИФЗ РАН). Занимал должности научного сотрудника, руководителя группы, заведующего отделом. В 1978-1991 гг. возглавлял лабораторию прикладной математики.
В 1990-1996 гг. - председатель Российского постоянного комитета ЮНЕСКО по сетевым телекоммуникационным стратегиям.
В 1991 г. создал в ИФЗ АН СССР и возглавил Центр изучения геофизических данных и сетевых технологий (руководил им до 2005 г.).
В 1997 г. был избран заведующим отделения математической геофизики и геоинформатики ОИФЗ РАН.
С 1999 по 2012 г. занимал должность заместителя директора ОИФЗ, затем ИФЗ РАН.
В 2005-2011 гг. заведовал лабораторией геоинформатики Геофизического центра РАН (до 2004 г. центр входил в состав ОИФЗ РАН).
С января 2005 г. по октябрь 2018 г. - директор Геофизического центра РАН. Под его руководством ГЦ РАН стал одним из международных лидеров в области геофизики и геоинформатики. Возглавляет ученый совет центра. С 2018 г. является научным руководителем ГЦ РАН.
С 2005 г. - председатель Национального комитета РАН по сбору и оценке численных данных в области науки и техники.
С 2006 г. - председатель Национального геофизического комитета РФ (входит в структуру РАН).
Член бюро (с 2007 г.) и заместитель академика-секретаря (с 2008 г.) Отделения наук о Земле РАН. Заместитель главного редактора журнала "Вестник Отделения наук о Земле РАН".
Работал приглашенным исследователем в зарубежных научных организациях: Национальном центре геофизических данных (США), Мадридском национальном институте географии (Испания), Европейском средиземноморском сейсмологическом центре, Институте физики Земли (Страсбург, Франция), Лаборатории вулканологии Университета Клермон-Ферран (Франция). Был приглашенным профессором в Институтах физики Земли в Страсбурге и Париже.
Занимал руководящие посты в международных организациях: вице-президент Европейского средиземноморского сейсмологического центра (EMSC; 1996-2003), вице-председатель панели мировых центров данных Международного совета науки (ICSU; 1996-2006), вице-президент Международного комитета по сбору и оценке численных данных для науки и техники (CODATA; 2002-2006) и др. В 2014 г. - вице-председатель научного совета Международного института прикладного системного анализа (IIASA, Австрия), одним из основателей которого являлся его отец.
Научный вклад, публикации
Является специалистом в области математической геофизики, геомагнетизма, изучения сейсмической опасности, геоинформатики и системного анализа геофизических данных.
Алексей Гвишиани получил фундаментальные результаты в проблеме распознавания мест возможного возникновения сильных землетрясений и ввел новый класс динамических предельных задач классификации объектов, представленных признаками в векторных пространствах малой размерности. Создал теорию предельных динамических задач распознавания, разработал методы кластеризации и распознавания аномальных участков и др.
Автор и соавтор 349 научных работ, опубликованных в международных и российских реферируемых журналах, пяти книг (изданы также на английском, французском, венгерском и итальянском языках). Среди них - Сборник задач по функциональному анализу (1977), "Элементы неархимедова анализа" (1979), "Прогнозирование мест землетрясений в регионах умеренной сейсмичности" (1988), "Определение аномалий на временных рядах методами нечеткого распознавания" (2008), "Дискретный математический анализ и мониторинг вулканов" (2008), "Атлас главного магнитного поля Земли" (2010), "Распознавание мест возможного возникновения землетрясений: методология и анализ результатов" (2014), "Геоинформатика и наблюдения магнитного поля Земли: российский сегмент" (2015), "Оценка сейсмической опасности при выборе мест захоронения радиоактивных отходов" (2015), "Зоны возможного возникновения эпицентров значительных землетрясений в регионе Алтай-Саяны" (2018) и др.
Написал книгу "Феномен Косыгина: Записки внука" (2004) и выступил соавтором издания "Феномен Косыгина. Записки внука. Мнения современников" (2004).
Награды, почетные звания
Награжден орденами Дружбы (2009), Почета (2024), а также медалью О. Ю. Шмидта ИФЗ РАН (1981).
Член Европейской академии наук (2017), иностранный член Национальной академии наук Украины (2003) и Румынской академии инженерных и технических наук (2015).
Член Национального комитета геологов России (2017).
Почетный доктор Института прикладного системного анализа Национального технического университета Украины "Киевский политехнический институт им. Игоря Сикорского" (2006).