Родился 4 мая 1951 г. в с. Орджоникидзе Красносельского района Армянской ССР (ныне с. Ваган Гегаркуникской области Республики Армения).
В 1977 г. окончил Высшую комсомольскую школу при ЦК ВЛКСМ по специальности "преподаватель истории, обществоведения и методист коммунистического воспитания", в 1997 г. - Российскую академию государственной службы при президенте РФ (ныне - Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ) по специальности "юрист-специалист по государственному строительству и праву".
Кандидат экономических наук. В 2006 г. в Санкт-Петербургском государственном инженерно-экономическом университете защитил диссертацию на тему "Организационно-экономический механизм финансовой стабилизации северных регионов: на материалах Чукотского автономного округа".
С 1977 г. живет в Чукотском автономном округе. В 1977-1990 гг. работал в комсомольских и партийных органах округа.
С 1990 по 1993 г. - первый заместитель председателя Совета народных депутатов Чукотского автономного округа.
В 1993 г. перешел на работу в администрацию Чукотки. С 1996 г. по октябрь 2008 г. работал заместителем губернатора Чукотского автономного округа по иммиграционному контролю и международным связям, организационным, административно-правовым вопросам, был руководителем аппарата губернатора и правительства Чукотского автономного округа. С 1991 по 2001 г. округ возглавлял Александр Назаров, затем, с 2001 по 2008 г. - Роман Абрамович.
Был секретарем Совета безопасности Чукотского автономного округа, полномочным представителем губернатора и правительства в Думе Чукотского округа. Занимал должность старшего уполномоченного Межправительственной российско-американской комиссии Берингова пролива (по безвизовым поездкам жителей округа на Аляску).
Покинул окружную администрацию после ухода Романа Абрамовича с поста главы Чукотки. В октябре 2008 г. вместе с ним принял участие в дополнительных выборах депутатов Думы Чукотского автономного округа IV созыва.
12 октября 2008 г. был избран депутатом окружной Думы IV созыва по Восточному избирательному округу №3. Баллотировался в качестве самовыдвиженца, по итогам голосования набрал 80,91% голосов. Его соперник - самовыдвиженец, директор старательской артели ООО "Горизонт" Владимир Монастырный - получил 15,5%. 22 октября того же года, после избрания Романа Абрамовича председателем Думы Чукотского автономного округа, Арамаис Даллакян занял пост первого заместителя председателя Думы.
13 марта 2011 г. избран депутатом Думы Чукотского автономного округа V созыва. Баллотировался по Восточному трехмандатному избирательному округу №1, получил 60,88%. Второе место занял кандидат от "Единой России", гендиректор Чукотской торговой компании Игорь Иванов (47,55%). 29 марта 2011 г. Арамаис Даллакян вновь стал первым заместителем председателя Думы, а также возглавил комитет по законодательству и безопасности. 2 июля 2013 г. Арамаис Даллакян был избран спикером Думы Чукотского автономного округ, сменив на этом посту Романа Абрамовича, который досрочно сложил депутатский мандат.
Избирался также депутатом Думы Чукотского автономного округа VI созыва (выборы состоялись 18 сентября 2016 г.; баллотировался от партии "Единая Россия" под вторым номером в общей части списка кандидатов).
С 5 июня 2015 г. был членом Совета Федерации РФ, представителем Думы Чукотского автономного округа. 30 сентября 2016 г. Арамаис Даллакян был повторно наделен полномочиями сенатора. Входил в комитет Совета Федерации по бюджету и финансовым рынкам. В 2021 г. сенатором от парламента Чукотки была назначена Анастасия Жукова.
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 5 млн 75 тыс. руб., супруги - 1 млн 143 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 5 млн 94 тыс. руб., супруги - 912 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2018 г. составила 5 млн 330 тыс. руб., супруги - 867 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2019 г. составила 5 млн 959 тыс. руб., супруги - 1 млн 19 тыс. руб.
Сумма декларированного дохода за 2020 г. составила 6 млн 205 тыс. руб., супруги - 1 млн 61 тыс. руб.
Капитан ВДВ (в запасе).
Награжден медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (1999). Имеет благодарность президента РФ (2010).
Присвоено почетное звание "Заслуженный юрист Российской Федерации" (2011).