Родился 11 октября 1947 г. в гор. Конотопе Сумской области (Украинская ССР, ныне Украина) в семье служащего.
Выпускник Суворовского училища. Проходил срочную службу в Воздушно-десантных войсках Вооруженных сил СССР.
В 1975 г. окончил Первый Московский медицинский институт им. И. М. Сеченова (1-й ММИ; ныне Первый Московский государственный медицинский университет им. И. М. Сеченова, Сеченовский университет). В 1975-1977 гг. проходил обучение в клинической ординатуре, в 1977-1980 гг. - в аспирантуре Онкологического научного центра Академии медицинских наук СССР (ОНЦ АМН СССР, Москва).
Доктор медицинских наук. В 1980 г. защитил кандидатскую диссертацию на тему "Комбинированные резекции и гастроэктомии при раке проксимального отдела желудка", в 1988 г. - докторскую диссертацию на тему "Одномоментные операции в комбинированном и хирургическом лечении рака пищевода".
Профессор по специальности "онкология" (1992).
В 1999 г. Михаил Давыдов был избран членом-корреспондентом, в 2004 г. - действительным членом Российской академии медицинских наук (РАМН). В 2003 г. стал академиком Российской академии наук (РАН; был избран по Отделению биологических наук). В настоящее время - член Отделения физиологических наук РАН (секция клинической физиологии).
В период с 1971 по 1973 г., учась в 1-м ММИ, был лаборантом кафедры оперативной хирургии вуза.
С 1975 по 2017 г. работал в ОНЦ АМН СССР, который впоследствии неоднократно менял свое название (ВОНЦ АМН СССР; ОНЦ РАМН; РОНЦ РАМН, затем РОНЦ Минздрава РФ). В настоящее время это Национальный медицинский исследовательский центр (НМИЦ) онкологии им. Н. Н. Блохина Минздрава России, "Онкоцентр на Каширке".
С 1980 г. был младшим, с 1983 г. - старшим, с 1987 г. - ведущим научным сотрудником торакального отделения Онкоцентра.
В 1988 г. возглавил хирургическое отделение торако-абдоминальной онкологии Научно-исследовательского института клинической онкологии (ныне НИИ носит имя академика и онколога Николая Трапезникова), действующего в составе Всесоюзного онкологического научного центра (ВОНЦ) АМН СССР.
В 1993-2001 гг. - директор НИИ клинической онкологии. Руководил в институте отделением торакальной онкологии (1993-2003), отделением хирургическим торакальным и торако-абдоминальным отделом (2003-2016), торако-абдоминальным отделом (2016-2017).
Одновременно с 1993 по 2001 г. занимал должность заместителя директора по научной работе ОНЦ им. Н. Н. Блохина РАМН (в то время Онкоцентр возглавлял Николай Трапезников).
После смерти академика Трапезникова в 2001 г. Михаил Давыдов возглавил Российский онкологический научный центр (РОНЦ) им. Н. Н. Блохина, который в июле 2017 г. был преобразован в НМИЦ онкологии им. Н. Н. Блохина. Руководил Онкоцентром до ноября 2017 г.
С 2002 по 2017 г. заведовал кафедрой онкологии в Сеченовском университете.
С марта 2006 г. по февраль 2011 г. был президентом РАМН.
Являлся главным внештатным онкологом Минздрава России (2013-2017). Был главным онкологом медцентра Управления делами президента РФ.
После ухода из НМИЦ онкологии им. Н. Н. Блохина оставил также пост президента Ассоциации онкологов России и Ассоциации директоров центров и институтов онкологии и рентгенорадиологии стран СНГ и Евразии. Был приглашен в качестве главного онколога в сеть клиник "Медси" (Москва), стал оперировать в Городской клинической больнице им. С. П. Боткина Москвы.
В настоящее время - профессор кафедры хирургии Российской медицинской академии последипломного образования (действует на базе Боткинской больницы).
Академик Михаил Давыдов - специалист в области клинической и экспериментальной онкологии. Основоположник школы торако-абдоминальной хирургии. Разработал уникальные методы оперативного лечения опухолей легкого, пищевода, желудка и др. Первым в онкохирургии стал проводить операции с пластикой полой вены, легочной артерии, аорты. За годы врачебной практики провел свыше 20 тыс. операций.
Автор и соавтор более 900 научных публикаций, около 20 изобретений и рационализаторских предложений, подтвержденных патентами РФ. В число его трудов входят: "Хирургическое и комбинированное лечение рака средней и нижней трети пищевода" (1983), "Методика обходного пищеводно-желудочного анастомоза при кардиоэзофагеальном раке" (1986), "Опыт хирургического лечения немелкоклеточного рака легкого" (1991), "Новый способ трахеального анастомоза в детской онкологии. Первый опыт" (1993), "Опыт тотальной и субтотальной пластики трахеи при раке трахеи и пищевода (демонстрация больного)" (1993), "Рак легкого" (1994), "Новые аспекты комбинированного лечения немелкоклеточного рака легкого: механизм, реализация, эффект" (1994), "Успехи и неудачи "молекулярной хирургии" рака легкого" (1997) и др.
Награжден орденами Почета (2002), "За заслуги перед Отечеством" IV степени (2016). Имеет почетную грамоту правительства РФ (1997).
Лауреат Государственной премии РФ 2001 г. в области науки и техники (за работу "Хирургическое лечение сочетанных сердечно-сосудистых и онкологических заболеваний" вместе с хирургом Ренатом Акчуриным и др. специалистами).
Заслуженный деятель науки РФ (1997).
Член Нью-Йоркской академии наук, Европейского и Американского общества хирургов, Международного общества хирургов.
Почетный доктор Института экспериментальной медицины (Санкт-Петербург, 2015).
Вдовец. Его сын Михаил (род. 1985) также стал хирургом-онкологом, член-корреспондент РАН (2016), в 2016-2019 гг. являлся директором НИИ клинической онкологии НМИЦ онкологии им. Н. Н. Блохина, с 2017 г. заведует кафедрой онкологии в Сеченовском университете, в н. в. работает главным врачом Онкоцентра "Лапино-2" (Московская обл.).