Родился 9 апреля 1913 г. в Москве.
Окончил Московский индустриальный техникум, несколько лет работал по специальности.
В 1932 г. занял почетное третье место на конкурсе карикатур, который проводило пресс-бюро ТАСС. В 1934-1938 гг. занимался на курсах карикатуристов при журнале "Крокодил" под руководством художника Алексея Радакова. В 1938 г. учился на курсах при московской киностудии "Союзмультфильм".
С 1938 г. работал на "Союзмультфильме" художником-аниматором над фильмами Леонида Амальрика, Владимира Полковникова, Дмитрия Бабиченко, Владимира Сутеева, Ольги Ходатаевой, Ивана Иванова-Вано, Валентины и Зинаиды Брумберг, Мстислава Пащенко, Михаила Цехановского, Льва Атаманова и др. режиссеров. Роман Давыдов был участником творческих групп десятков картин, в числе которых "Боевые страницы" (1939), "Муха-Цокотуха" (1941), "Пропавшая грамота" (1945), "Серая Шейка" (1948), "Чудесный колокольчик" (1949), "Аленький цветочек" (1952), "Золотая антилопа" (1954) и др.
Дебютной режиссерской работой Романа Давыдова стал в 1956 г. мультфильм "Баллада о столе". До 1958 г. он ставил кукольные фильмы, затем перешел к рисованной анимации. Наиболее известные произведения режиссера относятся к т. н. звериной эпопее. Это цикл из пяти двухчастных фильмов по мотивам рассказов "Книга джунглей" Редьярда Киплинга о Маугли: "Ракша" (1967), "Похищение" (1968), "Последняя охота Акелы" (1969), "Битва" (1970) и "Возвращение к людям" (1971). В 1973 г. на основе пяти лент была смонтирована полнометражная картина "Маугли". Всего же Роман Давыдов был режиссером тридцати анимационных лент, среди которых "Колобок" (1956), "Три медведя" (1958), "Живые цифры" (1962), "Гунан-Батор" (1965), "Фока - на все руки дока" (1972), "Последняя невеста Змея-Горыныча" (1978), "Сказ о Евпатии Коловрате" (1985), "Сын камня и великан" (1986) и др.
Преподавал на курсах обучения и повышения квалификации художников-мультипликаторов.
Роман Давыдов скончался 17 сентября 1988 г. в Москве на 76-м году жизни.
Член Международной ассоциации мультипликационного кино (АСИФА).
Заслуженный деятель искусств РСФСР (1979).
Был женат. Сын - Александр Давыдов (1937-2012), также был художником и режиссером анимационного кино.