Родился 21 ноября 1934 г. в Москве. В годы Великой Отечественной войны его отец, Аркадий Леонидович Диодоров, был главным художником штаба ВМФ, принимал участие в разработке эскизов орденов Нахимова и Ушакова. Мать работала в Моспроекте, была сотрудницей мастерской архитектора Дмитрия Чечулина.
Борис Диодоров учился в Московской детской художественной школе в Чудовом переулке и в Московской средней художественной школе при Московском государственном художественном институте им. В. И. Сурикова Академии художеств СССР (МГХИ; ныне - Московский государственный академический художественный институт им. В. И. Сурикова при Российской академии художеств). В 1960 г. окончил факультет живописи МГХИ им. В. И. Сурикова. Выпускник творческой мастерской профессора Михаила Курилко.
В 1959 г., будучи студентом, Борис Диодоров выполнил плакаты к фильмам "Сомбреро" (режиссер Тамара Лисициан) и "Хмурое утро" (заключительная часть кинотрилогии Григория Рошаля "Хождение по мукам").
С 1960 г. Борис Диодоров работает в жанре книжной иллюстрации. До 1970-х гг. он сотрудничал с художником Геннадием Калиновским (1929-2006). С их иллюстрациями были изданы книги Василия Канаки "Северные рассказы" (1960), Герцеля Новогрудского "Маленький Тыук едет в Москву" (1962), Сергея Козлова "Где живет солнце" (1963).
С 1963 г. Диодоров и Калиновский сотрудничали с издательством "Детская литература". Они проиллюстрировали книгу Алана Александра Милна "Винни-Пух и все-все-все" (1965), повесть Александра Каждана "У стен Царьграда" (1965), книгу Арчи Бинза "Бастер, ко мне!" (1968).
На протяжении 1960-1970-х гг. с иллюстрациями Бориса Диодорова таже были изданы: роман Имре Кесеги "Сердце не меняют…" (1963), историческая повесть Ольги Гурьян "Край половецкого поля" (1966), книга Юрия Давыдова "Новое небо" (1967), роман Александра Немировского "Пурпур и яд" (1973), роман Ибрагима Абдуллина "Прощай, Рим!" (1975), повесть Натальи Кравцовой "Из-за парты - на войну" (1976) и др.
В 1977 г. художник оформил поэму Александра Блока "Двенадцать" и сборник сказов Павла Бажова "Малахитовая шкатулка", вышедшие в издательстве "Современник".
Широкую известность Борис Диодоров получил в 1979 г. после выхода проиллюстрированной им повести-сказки Сельмы Лагерлеф "Чудесное путешествие Нильса с дикими гусями" (издательство "Детская литература"). Для нее он выполнил серию цветных офортов с использованием акварели и акватинты.
С 1980-х гг. Борис Диодоров сотрудничал с иностранными издательствами, в частности, оформил сказки Ханса Кристиана Андерсена для французских "Байяр-Пресс", "Альбан-Мишель" и др.
С 1986 г. на протяжении нескольких лет работал главным художником издательства "Детская литература".
В 1980-1990-х гг. выполнил иллюстрации к ряду произведений Ивана Тургенева, сказке Сергея Аксакова "Аленький цветочек", рассказам Льва Толстого "Чем люди живы", сказочной повести Яна Экхольма "Тутта Карлсон первая и единственная, Людвиг Четырнадцатый и другие" и др.
В 1993 г. Борис Диодоров выступил в качестве создателя декораций к спектаклю "Анна Каренина", поставленному в Московском театре "У Никитских ворот".
В 2003 г. был издан сборник его офортов "Псковский альбом".
В общей сложности Борис Диодоров проиллюстрировал более 400 произведений. Его персональные выставки проходили в Москве, Берлине, Вашингтоне, Копенгагене и других городах. Произведения художника находятся в Государственной Третьяковской галерее, Государственном музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина, музеях Дании, Японии и Словакии, в частных коллекциях в России и за рубежом.
В 2003 г. Борис Диодоров стал одним из создателей и первым заведующим кафедрой иллюстрации и эстампа Московского государственного университета печати (МГУП) им. Ивана Федорова (занимал должность до 2006 г.). В 2006-2013 гг. руководил творческой мастерской "Иллюстрация и эстамп" факультета графических искусств МГУП. В 2013 г. в этом вузе состоялось открытие Центра полиграфических искусств "Печатный двор Ивана Федорова". Борис Диодоров возглавил его в качестве научного руководителя. Профессор МГУП (с 2016 г. - Высшая школа печати и медиаиндустрии в составе Московского политехнического университета). Среди его учеников - художник-иллюстратор, лауреат премии президента РФ для молодых деятелей культуры 2015 г. Евгения Лоцманова и художественный руководитель "Печатного двора Ивана Федорова" Екатерина Рябинина.
Соучредитель региональной общественной организации "Совет по детской книге России" (2003), учредитель "Фонда сохранения культурного наследия им. Б. А. Диодорова и К. С. Диодоровой" (2015).
Член Союза художников РФ. Почетный член Российской академии художеств.
В последние годы Борис Диодоров проживает в селе Погорелое Городище (Зубцовский район Тверской области). В августе 2018 г. по его инициативе был открыт местный музей "Дорога к Пушкину".
Народный художник РФ (1999).
Лауреат премии президента РФ в области литературы и искусства за произведения для детей и юношества 2018 г.
Удостоен ряда отечественных и зарубежных наград в области книжной иллюстрации, в т. ч. "Золотого яблока" Международной биеннале иллюстрации в Братиславе (Чехословакия, 1981), диплома им. Ивана Федорова Всесоюзного конкурса "Искусство книги" (1986) и диплома Всероссийского конкурса книжной иллюстрации "Образ книги" (2013).
Вдовец. Был женат на Карине Степановне Филипповой-Диодоровой (1934-2019, поэтесса, актриса и театральный педагог). Дочь - Ирина Голицына (род. 1961, выпускница Школы-студии МХАТ).