Родился 28 июля 1936 г. в дер. Варкаляй (ныне расположена на территории Тельшяйского уезда Литовской Республики).
В 1951-1955 гг. учился в музыкальной школе в Клайпеде (Литовская ССР, ныне Литовская Республика).
В 1960 г. окончил в Вильнюсе Литовскую государственную консерваторию (ныне Литовская академия музыки и театра) по классу кларнета педагога Юозаса Ясенки, в 1965 г. - Ленинградскую (ныне Санкт-Петербургскую) государственную консерваторию им. Н. А. Римского-Корсакова по классу симфонического дирижирования педагога Ильи Мусина.
С 1957 по 1960 г. Юозас Домаркас был дирижером Вильнюсского духового оркестра. В 1961 г. дебютировал в Ленинграде как симфонический дирижер.
В 1964-2015 гг. был художественным руководителем и главным дирижером Национального симфонического оркестра Литвы (в советское время - симфонический оркестр Литовской национальной филармонии). С 2015 г. является его почетным дирижером. В исполнении оркестра под его управлением прозвучали более 100 премьер произведений литовских композиторов XX в., а также сочинения Людвига ван Бетховена, Георга Фридриха Генделя, Иоганна Себастьяна Баха, Густава Малера и др.
В 1980-1990-х гг. Юозас Домаркас поставил ряд опер Жоржа Бизе и Игоря Стравинского, а также балетов Мориса Равеля и Родиона Щедрина на сценах литовских музыкальных театров.
С 1968 г. преподает в Литовской академии музыки и театра. В 1972-1991 гг. руководил ее студенческим симфоническим оркестром. В 1995 г. выступил инициатором создания кафедры дирижирования и возглавлял ее до 2015 г. Профессор.
С 2010 г. является художественным руководителем Международного фестиваля классической музыки им. Михаила Огинского (проводится в литовском городе Плунге).
Народный артист СССР (1986).
Награжден литовскими орденами Великого князя Литовского Гедиминаса (1994, 1998) и "За заслуги перед Литвой" (2014), орденом Заслуг перед Республикой Польша (2006).
Лауреат Государственной премии Литовской ССР (1974), Национальной премии Литвы в области культуры и искусства (2000).
Почетный гражданин Плунге (2003).