Родился 28 октября 1962 г. в коммуне Гратия в уезде Талеорман на юге Румынии.
В 1987 г. окончил факультет транспорта Бухарестского политехнического института. В 1997 г. посещал спецкурс Школы государственного управления при МИД Италии в Риме. В 2001 г. окончил аспирантуру в области госуправления Экономической академии в Бухаресте, а в 2004 г. - Национальный колледж обороны при Национальном университете обороны "Карол I" в Бухаресте.
В 1987-1991 гг. работал автомобильным инженером и главным механиком в мастерской в г. Крайова, а в 1991-1996 гг. был менеджером нескольких частных компаний.
В 1994 г. вступил в Демократическую партия (ДП), в 1995-2000 гг. являлся заместителем председателя отделения ДП в уезде Талеорман.
В 1996 г. был избран членом городского совета (орган местного самоуправления) г. Турну-Мэгуреле (уезд Талеорман). В 1996-2000 гг. занимал пост префекта уезда Талеорман. В 2000 г. был избран председателем совета уезда Талеорман, переизбирался в 2004, 2008 и 2012 гг. (занимал пост до декабря 2012 г.).
В 2000 г. вступил в ряды Социал-демократической партии (СДП), в 2005 г. стал вице-председателем СДП. В декабре 2008 г. был избран в состав Национального исполнительного комитета СДП. С июля 2009 г. - генеральный секретарь СДП.
В 2007 г. был координатором кампании СДП перед выборами в Европарламент, а в 2008 г. - координатором кампании партии перед парламентскими выборами в Румынии.
С 20 января по 3 февраля 2009 г. занимал пост министра администрации и внутренних дел в правительстве Эмиля Бока.
В декабре 2012 г. был избран в парламент.
С декабря 2012 по декабрь 2014 г. находился на посту заместителя премьер-министра Румынии Виктора Понты. С декабря 2012 г. по май 2015 г. - министр регионального развития и туризма. Покинул пост после приговора суда по делу о мошенничестве. Ливиу Драгня был обвинен Управлением по борьбе с коррупцией в фальсификации результатов голосования на референдуме 29 июля 2012 г. о смещении с должности президента Траяна Бэсеску. Согласно данным следствия, Драгня использовал такие методы, как многоразовое голосование, так называемое туристическое голосование и подделка подписей. В 2016 г. получил два года условно. 24 апреля 2017 г. Высокий кассационный суд Румынии отклонил апелляцию Драгни, данное решение не подлежит обжалованию.
В апреле 2013 г. был избран исполнительным председателем СДП. В июле 2015 г., после отставки Виктора Понты с поста премьера и лидера партии (в связи с массовыми антиправительственными протестами после пожара в бухарестском ночном клубе Collectiv), занял пост председателя СДП.
С 21 декабря 2016 г. по 28 мая 2019 г. возглавлял Палату депутатов (нижняя палата парламента Румынии).
В январе 2017 г. начался новый процесс. Прокуроры Национального управления по борьбе с коррупцией утверждают, что Драгня, возглавляя Совет уезда Телеорман, распорядился, чтобы за двумя сотрудницами генеральной дирекции были сохранены должности и зарплаты, хотя знал, что на самом деле они работают в уездной организации СДП. В результате против него было выдвинуто обвинение в подстрекательстве к злоупотреблению служебным положением и подлогу. Сам Драгня утверждает, что невиновен, а обвинения в его адрес сфабрикованы по политическим мотивам. Прокурор потребовал для него наказания в 7,5 лет заключения. Сам Драгня утверждает, что невиновен, а обвинения в его адрес сфабрикованы по политическим мотивам. 27 мая 2019 г. Высокий кассационный суд Румынии приговорил Драгню к 3,5 годам тюремного заключения за подстрекательство к злоупотреблению служебным положением по делу о фиктивном найме на работу в Генеральной дирекции социальной помощи и защиты ребенка уезда Телеорман. 15 июля 2021 г. суд румынского города Джурджу принял решение об условном освобождении из заключения Драгни. Он провел в бухарестской тюрьме Рахова 2 года и 2 месяца. Во время отбывания наказания Драгня выиграл ряд процессов против администрации тюрьмы, суд постановил, что было нарушено его право на работу и на медицинское обслуживание.
17 мая 2021 г. прокуроры Национального управления по борьбе с коррупцией возбудили очередное уголовное дело. На этот раз против экс-лидера СДП выдвинуто обвинение в злоупотреблении служебным положением в связи с его присутствием на церемонии инаугурации бывшего президента США Дональда Трампа в начале 2017 г. Прокуроры утверждают, что Драгня получил доступ на эту церемонию благодаря помощи некоего бизнесмена, которому в обмен предоставил ряд льгот на 250 тыс. долларов. Драгня, который был тогда спикером Палаты депутатов и лидером СДП, пообещал использовать свое влияние на премьер-министра и других членов правительства, чтобы обеспечить деловые интересы, особенно в военной и разведывательной областях, которые были у бизнесмена в Румынии. Кроме того, Драгня при помощи двух других бизнесменов получил в США лоббистские услуги и политические консультации для СДП стоимостью 30 тыс. долларов.
Разведен, двое детей.
Православный.