Родился 20 февраля 1920 г. в г. Ижевске в семье конструктора Ижевского оружейного завода (с 1940 г. - Ижевский машиностроительный завод, ныне - в составе Концерн "Калашников"), партийного работника Федора Владимировича Драгунова и учительницы Зинаиды Константиновны Драгуновой (в девичестве Соковиковой).
В 1938 г. Евгений Драгунов окончил Ижевский индустриальный техникум с квалификацией техника-технолога и начал работу техником по обработке металлов на Ижевском оружейном заводе.
В начале декабря 1939 г. Драгунова призвали в армию и направили в Хабаровск на обучение в школу артиллерийской инструментальной разведки. Окончив обучение в октябре 1940 г. Евгений Драгунов остался служить при ней в должности оружейного мастера. В 1941 г. с началом Великой Отечественной войны на базе школы было сформировано артиллерийское училище. Евгения Драгунова как высококлассного специалиста не отправили на фронт, а назначили старшим оружейным мастером.
После войны в декабре 1945 г. старший сержант Драгунов был демобилизован и в той же должности вернулся на работу на Ижевский машиностроительный завод в отдел главного конструктора. Занимался самостоятельными разработками, сначала модернизацией кронштейна оптического прицела ПУ для винтовки Мосина образца 1895/1930 гг. Также проектировал спортивное оружие. В 1949 г. была запущена в серийное производство спортивная винтовка С-49 конструкции Драгунова.
Авторству Евгения Драгунова принадлежит серия спортивного оружия - винтовки ЦВ-55, ТСВ-1, МЦВ-55, ЦВ-56, "Биатлон 7-2" и др.
В 1958 г. Драгунов принял участие в конкурсе по созданию армейской самозарядной снайперской винтовки. Среди его конкурентов были именитые оружейники Сергей Симонов и Александр Константинов, однако образец, представленный Евгением Драгуновым, превзошел остальные. Его винтовка (СВД) совмещала такие качества, как высокая кучность боя, удобство в обращении, надежность в эксплуатации и невысокая стоимость производства. В 1963 г. доработанная СВД стала первой специализированной снайперской винтовкой, принятой на вооружение Советской армии. В ходе дальнейшей модернизации на основе СВД было разработано несколько снайперских винтовок (СВД-С, СВУ СВДК), которые стоят на вооружении отечественных вооруженных сил и специальных подразделений до сих пор.
Конструктор также занимался разработкой короткоствольного оружия. Так в начале 1970-х гг. им был спроектирован пистолет-пулемет ПП-71 (не пошел в серийное производство). Незадолго перед смертью в 1991 г. на основе ПП-71 Драгунов создал пистолет-пулемет ПП-91 "Кедр", который был принят на вооружение МВД РФ уже после смерти конструктора. За время конструкторской деятельности Драгуновым было спроектировано 27 образцов боевого и спортивного оружия, 10 из которых выпускались серийно.
Евгений Драгунов скончался 4 августа 1991 г. Похоронен на Хохряковском кладбище г. Ижевска.
Евгений Драгунов является лауреатом Ленинской премии (1963) и Государственной премии Российской Федерации (1992, посмертно), награжден орденом "Знак почета" (1957).
Был женат на Лидии Николаевне Драгуновой. Сыновья Евгения Драгунова - Михаил и Алексей - также стали оружейниками. Михаил Драгунов завершил начатую отцом работу по усовершенствованию ПП "Кедр". Младший сын - Алексей Драгунов - в соавторстве Виктором Калашниковым создал на "Ижмаше" пистолет-пулемет ПП-19 "Бизон".