Родился 20 июня 1937 г. в Москве.
В 1953 г. поступил на биологический факультет Московского государственного университета (МГУ) им. М. В. Ломоносова. На втором курсе ушел из вуза, устроился на швейную фабрику. В 1956-1957 гг. учился в Московском городском педагогическом институте им. В. П. Потемкина (ныне Московский педагогический государственный университет) на естественном факультете. После второго курса Николай Дроздов вернулся в МГУ, но уже на географический факультет, учился на кафедре биогеографии (наука, изучающая закономерности географического распространения и распределения животных, растений и микроорганизмов). С отличием окончил МГУ в 1963 г.
Кандидат географических наук. В 1968 г. защитил в МГУ диссертацию на тему "Культурные ландшафты аридных областей СССР и их орнитофауна".
Доктор биологических наук. В 2000 г. в Петрозаводском государственном университете защитил диссертацию в виде научного доклада на тему "Фауна, животное население и охрана биологического разнообразия в аридных регионах Земли".
С 1968 г. Николай Дроздов работает на кафедре биогеографии географического факультета МГУ, в настоящее время является ее профессором. Он выступал с лекциями, читал курсы по охране природы, орнитологии, биогеографии, в том числе за рубежом.
В 1971-1972 гг. проходил научную стажировку в Канберре на факультете зоологии Австралийского национального университета. Через несколько лет после этого написал книгу "Полет бумеранга", посвященную животному миру Австралии и проблемам охраны природы.
В 1975 г. побывал в национальных парках Заира (ныне Демократическая Республика Конго) в составе советской делегации на XII Генеральной ассамблее Международного союза охраны природы и природных ресурсов (МСОП) в г. Киншаса. Посетил в восточной части Заира национальные парки Вирунга и Кахузи-Бьега. Тогда же был избран членом комиссии национальных парков МСОП. Отчеты о поездке были опубликованы в 1976 г. в журнале "Природа".
В 1978 г. Николай Дроздов читал лекции по биогеографии мира в департаменте географии Гаванского университета на Кубе.
В период с 1979 по 1981 г. выступал с лекциями по проблемам охраны природы в Чехословакии, Венгрии и Замбии.
В 1980 г. участвовал в четырехмесячной экспедиции ЮНЕСКО по проекту "Охрана и рациональное использование ресурсов островных экосистем". Изучал флору и фауну островов Фиджи, Тонга и Самоа на научно-исследовательском судне "Каллисто".
В 1993 г. Николай Дроздов принимал участие в экспедициях к Северному полюсу на российском ледоколе "Ямал". В 1995 г. на корабле "Дискаверер" исследовал побережья Аляски и Канады. В 2002 г. повторил высадку на Северный полюс уже в составе международной экспедиции, провел неделю в ледовом лагере "Барнео".
В 1964 г., будучи аспирантом, Николай Дроздов в первый раз выступил в телевизионной передаче "Жизнь пустыни" Центрального телевидения. Он продемонстрировал результаты своих научных командировок по Средней Азии.
В 1968 г. Николая Дроздова попросили заменить одного из ученых-консультантов в съемках программы "В мире животных" Гостелерадио СССР. В 1977-2019 гг. он являлся бессменным ведущим этой программы. После распада СССР передача выходила на "1-м канале Останкино" (1991-1995), ОРТ/Первом канале (1995-2005), "Домашнем" (2006-2009), "России-2" (2010-2015) и "Карусели" (2016-2019). Всего был снят 51 сезон передачи (около 1 тыс. 300 выпусков).
В 2003-2004 гг. принимал участие в четвертом и пятом сезонах телешоу "Последний герой" (Первый канал). По окончании проекта получил приз зрительских симпатий.
В 2008 г. Николай Дроздов вел на Первом канале передачу "В мире людей".
В 2014 г. был ведущим программы "Азбука леса" на радиостанции "Детское радио".
Николай Дроздов написал ряд книг в соавторстве с ученым Петром Второвым (1938-1979). Среди них "Биогеография материков" (1974), "Рассказы о биосфере" (1976), "Определитель птиц фауны СССР" (издана в 1980 г.).
Николай Дроздов является автором ряда научно-популярных фильмов о природе. Один из наиболее известных - "Царство русского медведя" (1992), подготовленный совместно с британской телекомпанией "Би-би-си".
В качестве актера снимался в фильмах "Женщина в белом" (1981, режиссер Вадим Дербенев), "Ирония любви" (2010, Александр Черняев), "Искатели приключений 3D" (2012, Максим Воронков), сериале "Короли игры" (2007, Вано Бурдули и др.).
Принимал участие в дублировании мультфильмов "Зверополис" (2016, режиссер Байрон Ховард, США) и "В поисках Дори" (2016, Эндрю Стэнтон, США), документального мини-сериала "Доисторическая планета" (2022, Эндрю Джонс и Адам Валдез, Великобритания - США) и др.
Николай Дроздов исполняет русские романсы и народные песни. В 2005 г. он выпустил музыкальный альбом "Вы слыхали, как поет Дроздов?".
Член Академии российского телевидения.
Николай Дроздов входит в медиа-совет Русского географического общества.
В 2014-2017 гг. являлся членом Общественной палаты РФ (был избран в ее состав по результатам интернет-голосования), работал в составе комиссии по культуре.
Заслуженный журналист РФ (2018).
Николай Дроздов награжден орденами Почета (2006), "За заслуги перед Отечеством" II и IV степеней (2022, 2011).
Лауреат премии правительства РФ 2017 г. в области СМИ.
Почетный гражданин Рязанской области (2007). Почетный член Российской академии художеств (2009).
Заслуженный профессор Московского университета (2019).
В честь Николая Дроздова назван астероид главного пояса 18334 Drozdov.
Его жизни и деятельности посвящены документальный фильм "Николай Дроздов. Шесть мангустов, семь кобр и один полускорпион" (2017, режиссер Татьяна Варданян) и один из выпусков телевизионного цикла "Линия жизни" (2012, ГТРК "Культура").