Родился 19 сентября 1925 г. в Минске (Белорусская ССР, ныне Белоруссия). Отец - Иван Дмитриевич Дроздов (1894-1978), армейский офицер, участник обеих мировых войн, впоследствии - сотрудник военной кафедры Казанского университета. Мать - Анастасия Кузьминична Дроздова (урожденная Панкевич, 1898-1987).
В начале 1940-х гг. Юрий Дроздов учился в специальной артиллерийской школе №14 (Харьков, Украинская ССР, ныне Украина), в ходе Великой Отечественной войны вместе со школой был эвакуирован в Актюбинск (ныне Актобе, Республика Казахстан).
В 1943-1944 г. проходил обучение в 1-м Ленинградском артиллерийском училище, в тот момент находившемся в эвакуации в Энгельсе (Саратовская обл.).
В 1944-45 гг. командовал огневым взводом 57-го отдельного гвардейского истребительного противотанкового дивизиона 52-й гвардейской стрелковой дивизии (находилась в составе 3-й ударной армии 1-го Белорусского фронта). Весной 1945 г. участвовал в штурме Берлина, Великую Отечественную войну завершил в звании лейтенанта.
В 1952 г. поступил на 4-й факультет (спецпропаганда) Военного института иностранных языков (ныне Военный университет Министерства обороны Российской Федерации, Москва), изучал немецкий и английский языки. После расформирования этого вуза в 1956 г. был переведен в Институт иностранных языков Комитета государственной безопасности при Совмине СССР (Ленинград, ныне Санкт-Петербург), который окончил в 1957 г.
С августа 1957 г. был оперативным работником в Берлине - в отделе нелегальной разведки аппарата старшего советника КГБ при Министерстве государственной безопасности ("Штази") ГДР.
С 1958 г. принимал участие в операции по возвращению на родину советского разведчика-нелегала Рудольфа Абеля. В переписке с адвокатами Абеля в США Юрий Дроздов выдавал себя за его двоюродного брата, восточногерманского служащего. В 1962 г. был осуществлен обмен Абеля на американского летчика-шпиона Фрэнсиса Гарри Пауэрса.
В 1963 г. завершил служебную командировку в Германии, был направлен на Курсы усовершенствования оперативного состава Комитета госбезопасности в Подмосковье.
В 1964-1968 гг. - резидент внешней разведки КГБ в Китае. Период его работы в этой стране пришелся на кризис в отношениях СССР и КНР, а также начало "культурной революции" (1966).
В 1968-1975 гг. служил в центральном аппарате Первого главного управления (ПГУ, внешняя разведка) КГБ. В 1968-1970 г. работал в 6-м отделе ПГУ, специализировавшемся на Китае и некоторых странах Юго-Восточной Азии. В 1970 г. был назначен заместителем начальника управления нелегальной разведки (управление "С"), в 1974 г. стал и. о. начальника управления. В этот период лично принимал участие в ряде спецопераций.
С августа 1975 г. по октябрь 1979 г. Юрий Дроздов руководил резидентурой разведки в Нью-Йорке (США), официально занимая пост заместителя постоянного представителя СССР при ООН.
С ноября 1979 г. работал заместителем начальника ПГУ КГБ СССР Владимира Крючкова (впоследствии - председателя КГБ СССР), начальником управления "С".
В декабре 1979 г. Юрий Дроздов отвечал за проведение операции "Шторм-333" по штурму советскими спецподразделениями дворца президента Афганистана Хафизуллы Амина, которая предшествовала вводу советских войск в эту страну.
В 1981 г. стал инициатором создания разведывательно-диверсионного подразделения "Вымпел" КГБ СССР (ныне – в составе Центра специального назначения, ЦСН ФСБ России), предназначенного для проведения операций за пределами страны в "особый период".
В июне 1991 г. вышел в отставку. С 1992 г. Юрий Дроздов возглавлял аналитический центр "Намакон" (ЗАО "Независимое агентство "Маркетинг и консалтинг"). Был почетным президентом Ассоциации ветеранов подразделений специального назначения и спецслужб "Вымпел-Союз".
Скончался 21 июня 2017 г. в возрасте 91 года. Похоронен с воинскими почестями на Троекуровском кладбище Москвы.
Генерал-майор.
Был награжден орденами Ленина (1981), Октябрьской Революции, Красного Знамени (1978), Трудового Красного Знамени (1966), Отечественной войны I степени (1985), Красной Звезды (1945), медалями, нагрудными знаками "Почетный сотрудник госбезопасности" и "За службу в разведке". Имел правительственные награды ГДР, Польской народной республики, Кубы и Афганистана.
Автор книг "Нужная работа" (1994), "Вымысел исключен" (1996), "Записки начальника нелегальной разведки" (1999), а также в соавторстве - "Операция "Шторм-333" (1999), "Юрий Андропов и Владимир Путин (на пути к возрождению)" (2002), "Мировая террористическая" (2004) и др.
Владел немецким, испанскими и английским языками.
Был женат на Людмиле Александровне Дроздовой (урожденная Юденич, род. 1925), сыновья - Юрий (род. 1946) и Александр (род. 1950).
Увлекался фотографией, автомобильными путешествиями, занимался резьбой по дереву.