Родился 22 ноября 1958 г. в г. Магнитогорске Челябинской области.
В 1990 г. с отличием окончил вечернее отделение Магнитогорского горно-металлургического института им. Г. И. Носова (ныне - Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова) по специальности "обработка металлов давлением", в 2001 г. - Академию народного хозяйства при правительстве РФ (ныне - Российская академия народного хозяйства и государственной службы при президенте РФ) по специальности "управление предприятиями и организациями".
С 1976 г. работал учеником контролера 1-го разряда отдела технического контроля на Магнитогорском металлургическом комбинате.
В 1977-1979 гг. проходил срочную службу в рядах Вооруженных сил СССР.
После армии вернулся на Магнитогорский металлургический комбинат: работал слесарем по ремонту металлургического оборудования, бригадиром слесарей-ремонтников, старшим мастером и начальником прокатного отделения, заместителем начальника, начальником листопрокатного цеха, главным прокатчиком комбината.
В 2000 г. был назначен заместителем коммерческого директора - начальником управления оборудования ОАО "Магнитогорский металлургический комбинат" (ММК).
В 2002-2003 гг. занимал должность технического директора - главного инженера комбината. По совместительству являлся генеральным директором ОАО "Магнитогорский метизно-металлургический завод".
С 2003 г. работал директором по сбыту на внутреннем рынке, затем директором по сбыту. В 2007-2008 гг. - исполнительный директор ОАО "ММК". Одновременно в 2005-2007 гг. являлся председателем совета директоров ОАО "Магнитогорский калибровочный завод", в 2005-2008 гг. - членом правления ОАО "ММК".
С 2009 по 2011 г. занимал должность первого заместителя генерального директора ОАО "Научно-производственная корпорация "Уралвагонзавод".
С мая 2011 г. по январь 2014 г. - генеральный директор, председатель правления ОАО "Магнитогорский металлургический комбинат".
С 2014 по 2019 г. – губернатор Челябинской области.
15 января 2014 г. указом президента РФ Владимира Путина назначен временно исполняющим обязанности главы региона. Сменил на это посту Михаила Юревича.
14 сентября 2014 г. одержал победу на выборах губернатора Челябинской области (баллотировался от партии "Единая Россия"), за него проголосовали 86,37% избирателей. Его ближайший соперник, руководитель фракции депутатов КПРФ в областном заксобрании Константин Нациевский, набрал 5,25% голосов. 24 сентября того же года Борис Дубровский официально вступил в должность главы региона.
19 марта 2019 г. президент РФ Владимир Путин принял досрочную отставку Бориса Дубровского. Врио главы региона был назначен первый заместитель министра энергетики РФ Алексей Текслер.
11 октября 2019 г. стало известно, что в отношении бывшего губернатора Челябинской области Бориса Дубровского (возглавлял регион в 2014-2019 гг.) Следственный департамент МВД РФ возбудил уголовное дело о злоупотреблении должностными полномочиями (ч. 2 ст. 285 УК РФ). Дело было заведено по материалам проверки ФАС России о картельном сговоре в дорожном строительстве региона. По данным следствия, в 2016-2018 гг. Дубровский включил в документацию требования, с помощью которых конкурсах на строительство и реконструкцию дорог региона выиграло АО "Южуралмост". С этой компанией руководство Челябинской области заключило 15 контрактов. Дивиденды за выигранные конкурсы зачислялись на счета ЗАО "Виста", владельцем контрольного пакета которого являлся Борис Дубровский. В результате бюджету региона был причинен ущерб на сумму более 20 млрд руб. В конце октября 2019 г. Следственный департамент МВД отменил постановление о возбуждении дела против экс-губернатора. 17 декабря того же года Арбитражный суд Москвы отменил решение ФАС о сговоре на торгах при проведении аукционов на право заключения контрактов в Челябинской области, после чего материалы о возбуждении дела о злоупотреблении должностными полномочиями в отношении Дубровского были направлены на дополнительную проверку.
С декабря 2018 г. - член партии "Единая Россия".
В 2012 г. вошел в рейтинг "25 самых дорогих топ-менеджеров", составленный российской редакцией журнала "Форбс", заняв в нем 13-е место (годовая компенсация была оценена в 7 млн долларов США). В 2013 г. занял в рейтинге 17-е место (совокупная компенсация составила 7 млн долларов).
Общая сумма декларированного дохода за 2015 г. составила 77 млн 855 тыс. руб., супруги - 1 млн 392 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2016 г. составила 73 млн 777 тыс. руб., супруги - 2 млн 375 тыс. руб.
Общая сумма декларированного дохода за 2017 г. составила 60 млн 418 тыс. руб., супруги - 2 млн 132 тыс. руб.
Награжден орденами Почета (2012), Дружбы (2019), медалью ордена "За заслуги перед Отечеством" II степени (2003).