Родился 3 октября 1935 г. в Ереване (Армянская ССР в составе Закавказской Советской Федеративной Социалистической Республики, ныне Республика Армения). Его отец, Борис Акимович, покинул семью вскоре после рождения сына. Армена Джигарханяна воспитывали мать, Елена Васильевна, и отчим.
После окончания средней школы в 1952 г. он не прошел в Москве конкурс в Государственный институт театрального искусства им. А. В. Луначарского (ныне Российский институт театрального искусства - ГИТИС). После этого в течение года работал помощником оператора на киностудии "Арменфильм". В 1954 г. поступил в Ереванский художественно-театральный институт (ныне Ереванский государственный институт театра и кино). Учился на курсе народного артиста Армянской ССР Армена Гулакяна, окончил институт в 1958 г.
На втором курсе института Армен Джигарханян поступил в труппу Ереванского русского драматического театра им. К. С. Станиславского. За десять лет работы в этом театре сыграл более 30 ролей. В их числе: Городулин в постановке пьесы Александра Островского "На всякого мудреца довольно простоты", Нелькин в "Свадьбе Кречинского" по комедии Александра Сухово-Кобылина, Сергей в "Иркутской истории" по пьесе Алексея Арбузова, Актер в спектакле "На дне" по произведению Максима Горького.
В 1967 г. по приглашению режиссера Анатолия Эфроса перешел в Московский театр им. Ленинского комсомола (ныне Московский государственный театр "Ленком Марка Захарова"). Сыграл в пяти постановках, исполнил роль Мольера в одноименном спектакле по роману Михаила Булгакова.
С 1969 по 1996 г. был одним из ведущих артистов Московского академического театра им. Вл. Маяковского. Среди наиболее известных ролей Джигарханяна - Левинсон ("Разгром" по роману Александра Фадеева), Стэнли Ковальски ("Трамвай "Желание" по пьесе Теннесси Уильямса), Сократ и Нерон ("Беседы с Сократом" и "Театр времен Нерона и Сенеки" по произведениям Эдварда Радзинского), Хлудов ("Бег" по пьесе Михаила Булгакова). После ухода из Театра им. Маяковского участвовал в антрепризных спектаклях, постановках "Ленкома" и Театра-студии Олега Табакова.
В 1991-1994 гг. преподавал во Всероссийском государственном институте кинематографии им. С. А. Герасимова. На основе группы выпускников ВГИКа в 1996 г. создал труппу Московского драматического театра под руководством Армена Джигарханяна (первоначально носил название "Театр "Д"). С 1996 г. являлся художественным руководителем этого театра, в 2005-2015 гг. также был его директором. До 2020 г. занимал должность президента театра. На его сцене исполнил роли в спектаклях "Последняя лента Крэппа" по произведению Сэмюэла Беккета, "Двенадцатая ночь" по пьесе Уильяма Шекспира, "Маленькие трагедии" по произведениям Александра Пушкина и др.
Армен Джигарханян был широко известен в качестве киноактера. Дебютной для него стала роль рабочего Акопа в картине Григория Саркисова "Обвал" (1960). Широкую известность актеру принесла роль молодого ученого-физика Артема Манвеляна в фильме Фрунзе Довлатяна "Здравствуй, это я!" (1965). В последующие десятилетия Армен Джигарханян стал одним из самых востребованных актеров в истории советского и российского кинематографа, сыграл более 250 ролей. Среди них: штабс-капитан Овечкин в приключенческом фильме "Новые приключения неуловимых" (1968, режиссер Эдмонд Кеосаян), судья Кригс в музыкальной комедии "Здравствуйте, я ваша тетя!" (1975, Виктор Титов), Левон Погосян в киноповести "Когда наступает сентябрь" (1975, Эдмонд Кеосаян), "Горбатый" в детективе "Место встречи изменить нельзя" (1979, Станислав Говорухин), Макс Ришар в фильме "Тегеран-43" (1980, Александр Алов и Владимир Наумов), Пал Палыч в трагифарсе "Город Зеро" (1988, Карен Шахназаров), Семен Клайн в трагикомедии "Паспорт" (1990, Георгий Данелия), Козюльский в комедии "Ширли-мырли" (1995, Владимир Меньшов).
Озвучил персонажей мультфильмов "Жил-был пес" (1982, режиссер Эдуард Назаров), "Остров сокровищ" (1988, Давид Черкасский), "Серый волк энд Красная Шапочка" (1990, Гарри Бардин) и др. Участвовал в дублировании фильмов, создании радиопостановок.
Армен Джигарханян скончался 14 ноября 2020 г. в Москве на 86-м году жизни. Похоронен на Ваганьковском кладбище.
Являлся членом Союза кинематографистов РФ, Российской академии кинематографических искусств.
Был соучредителем регионального общественного фонда содействия развитию культуры "Мир Кавказа", благотворительного фонда "Айастан".
Народный артист СССР (1985).
Был награжден орденами "За заслуги перед Отечеством" II, III и IV степеней (2010, 1995, 2005), Почета (Армения, 2010), отмечен благодарностью президента РФ (2002).
За свои работы в кино удостоен приза зрительских симпатий Международного кинофестиваля авторского кино в Белграде ("Когда наступает сентябрь", 1977), специального приза жюри Всесоюзного кинофестиваля в Тбилиси ("Одинокая орешина", 1987).
Лауреат театральных премий "Золотая маска" (2001, 2015) и "Хрустальная Турандот" (2010), кинопремии "Золотой орел" (лучшая мужская роль второго плана в фильме "Исчезнувшая империя", 2008), Царскосельской художественной премии (2011).
Почетный гражданин Еревана (2001).
В 2002 г. в соавторстве с Виктором Дубровским выпустил книгу "Я одинокий клоун".
Был трижды женат. Первая супруга - актриса Ереванского русского драматического театра им. К. С. Станиславского Алла Ванновская (брак не был официально зарегистрирован). Дочь от первого брака Елена погибла в 1987 г. Вторая супруга - актриса Татьяна Власова, приемный сын Степан. Третьей женой была Виталина Цымбалюк-Романовская.