Родился 3 июля 1975 г. в Белграде. Отец - серб, мать - боснийка.
Высшее образование получил за рубежом. В 1997 г. основал Организацию сербских студентов за границей (насчитывает несколько тысяч членов).
В 1998 г. окончил британский Колледж Квинс Кембриджского университета, изучал теоретическую физику. В 2001-2003 гг. продолжил обучение в Гарварде (США), где получил степень магистра в области государственного управления и международного развития, считался одним из лучших студентов на курсе.
После получения диплома работал в банках в Германии и Великобритании, занимался финансовым анализом.
В 2003 г. вернулся в Сербию, занял пост советника министра по телекоммуникациям, а затем был советником министра обороны Сербии и Черногории (СиЧ).
В 2004-2007 гг. был советником по международным отношениям и главой аппарата президента Сербии Бориса Тадича.
В феврале 2004 г. занял пост председателя комитета иностранных дел в Демократической партии (ДП), в феврале 2006 г. вошел в исполнительный совет ДП. В 2013 г. покинул ряды партии.
В 2007-2012 гг. - министр иностранных дел Сербии. Пребывая в должности, активно участвовал в работе ООН и Организации по безопасности и сотрудничеству в Европе (ОБСЕ).
В 2011-2012 гг. Еремич был председателем ряда региональных организаций - Центрально-Европейской Инициативы , Адриатической и Ионической Инициативы и Процесса сотрудничества в Юго-Восточной Европе и др.
В 2011-2015 гг. был президентом Федерации тенниса Сербии.
В 2012-2013 гг. являлся председателем 67-й сессии Генеральной Ассамблеи ООН. В июне 2013 г. созвал молодежную Ассамблею ООН чтобы отметить 16-летие Малалы Юсуфзай. Способствовал принятию ГА ООН Декларации Совещания на высоком уровне о верховенстве права и Международного договора о торговле оружием.
12 апреля 2016 г. правительство Сербии официально поддержало кандидатуру Еремича на пост генерального секретаря ООН.
Владеет английским и немецким языками.
Женат.